Номер 1.83, страница 42 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.83. Сторона ромба $ABCD$ равна $a$, угол при вершине $A$ равен $60^\circ$ и точка $O$ – точка пересечения диагоналей ромба.

Вычислите:

1) $\vec{AB} \cdot \vec{AD}$;

2) $\vec{AB} \cdot \vec{CO}$;

3) $\vec{AB} \cdot \vec{AO}$;

4) $\vec{AD} \cdot \vec{DO}$;

5) $\vec{AO} \cdot \vec{BO}$.

По условию задачи, $ABCD$ — ромб со стороной $a$, углом при вершине A, равным $60^\circ$, и точкой $O$ — точкой пересечения диагоналей. Для вычисления скалярных произведений векторов нам понадобятся длины векторов и углы между ними.

Найдем основные геометрические характеристики ромба:

• Все стороны ромба равны $a$. Таким образом, $|\vec{AB}| = |\vec{AD}| = a$.
• Так как в треугольнике $\triangle ABD$ стороны $AB$ и $AD$ равны $a$, а угол между ними $\angle DAB = 60^\circ$, то этот треугольник является равносторонним. Следовательно, диагональ $BD = a$.
• Диагонали ромба в точке пересечения $O$ делятся пополам, поэтому $|\vec{BO}| = |\vec{OD}| = \frac{BD}{2} = \frac{a}{2}$.
• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$, и угол между ними $\angle AOB = 90^\circ$.
• В прямоугольном треугольнике $\triangle AOB$ по теореме Пифагора найдем длину отрезка $AO$: $|\vec{AO}| = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
• Так как диагонали делятся пополам, $|\vec{CO}| = |\vec{AO}| = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
• Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому $\angle OAB = \frac{\angle DAB}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$. Аналогично, $\angle ODA = \angle ADB = 60^\circ$ (из равностороннего $\triangle ABD$).

Теперь вычислим требуемые скалярные произведения.

1) $\vec{AB} \cdot \vec{AD}$

Скалярное произведение векторов по определению равно произведению их длин на косинус угла между ними. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ равен $\angle DAB = 60^\circ$.

$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(\angle DAB) = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Ответ: $\frac{a^2}{2}$

2) $\vec{AB} \cdot \vec{CO}$

Векторы $\vec{CO}$ и $\vec{AO}$ противоположны по направлению, так как $\vec{CO} = -\vec{OC}$, а векторы $\vec{OC}$ и $\vec{AO}$ коллинеарны, сонаправлены и равны по длине, т.е. $\vec{OC} = \vec{AO}$. Таким образом, $\vec{CO} = -\vec{AO}$.

$\vec{AB} \cdot \vec{CO} = \vec{AB} \cdot (-\vec{AO}) = -(\vec{AB} \cdot \vec{AO})$.

Вычислим $\vec{AB} \cdot \vec{AO}$. Угол между этими векторами $\angle OAB = 30^\circ$.

$\vec{AB} \cdot \vec{AO} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AO}| \cdot \cos(\angle OAB) = a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(30^\circ) = a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2}{4}$.

Следовательно, $\vec{AB} \cdot \vec{CO} = -\frac{3a^2}{4}$.

Ответ: $-\frac{3a^2}{4}$

3) $\vec{AB} \cdot \vec{AO}$

Это скалярное произведение было вычислено как промежуточный шаг в предыдущем пункте.

$\vec{AB} \cdot \vec{AO} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AO}| \cdot \cos(\angle OAB) = a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(30^\circ) = a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2}{4}$.

Ответ: $\frac{3a^2}{4}$

4) $\vec{AD} \cdot \vec{DO}$

Для нахождения скалярного произведения векторов, имеющих общую точку (один вектор заканчивается там, где начинается другой), удобно рассмотреть векторы, выходящие из одной точки. Векторы $\vec{DA}$ и $\vec{DO}$ выходят из точки D. Угол между ними $\angle ODA = 60^\circ$.

Заметим, что $\vec{AD} = -\vec{DA}$.

$\vec{AD} \cdot \vec{DO} = (-\vec{DA}) \cdot \vec{DO} = -(\vec{DA} \cdot \vec{DO})$.

$\vec{DA} \cdot \vec{DO} = |\vec{DA}| \cdot |\vec{DO}| \cdot \cos(\angle ODA) = a \cdot \frac{a}{2} \cdot \cos(60^\circ) = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{4}$.

Следовательно, $\vec{AD} \cdot \vec{DO} = -\frac{a^2}{4}$.

Ответ: $-\frac{a^2}{4}$

5) $\vec{AO} \cdot \vec{BO}$

Вектор $\vec{AO}$ лежит на диагонали $AC$, а вектор $\vec{BO}$ — на диагонали $BD$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Это означает, что угол между любыми векторами, лежащими на этих диагоналях, равен $90^\circ$ или $270^\circ$, если они не нулевые. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.

Более формально, перенесем векторы так, чтобы они исходили из одной точки, например $O$. Вектор $\vec{AO}$ равен $-\vec{OA}$, а вектор $\vec{BO}$ равен $-\vec{OB}$.

$\vec{AO} \cdot \vec{BO} = (-\vec{OA}) \cdot (-\vec{OB}) = \vec{OA} \cdot \vec{OB}$.

Угол между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ равен $\angle AOB = 90^\circ$.

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}| \cdot |\vec{OB}| \cdot \cos(90^\circ) = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$