Страница 42 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.77. Единичные векторы $\vec{l}_1$ и $\vec{l}_2$ взаимно перпендикулярны и $\vec{a}=2\vec{l}_1-\vec{l}_2$, $\vec{b}=\vec{l}_1+2\vec{l}_2$. Найдите значения $|\vec{a}|, |\vec{b}|, |\vec{a}+\vec{b}|, |\vec{a}-\vec{b}|$ и угол между векторами $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{b}$.

По условию задачи, векторы $\vec{l_1}$ и $\vec{l_2}$ являются единичными, то есть их модули равны единице, и они взаимно перпендикулярны, что означает, что их скалярное произведение равно нулю.

$|\vec{l_1}| = 1, |\vec{l_2}| = 1$

$\vec{l_1} \cdot \vec{l_2} = 0$

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выражены через $\vec{l_1}$ и $\vec{l_2}$ следующим образом:

$\vec{a} = 2\vec{l_1} - \vec{l_2}$

$\vec{b} = \vec{l_1} + 2\vec{l_2}$

Для решения задачи будем использовать свойство скалярного произведения векторов: квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату, т.е. $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$.

$|\vec{a}|$

Найдем квадрат модуля вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = (2\vec{l_1} - \vec{l_2}) \cdot (2\vec{l_1} - \vec{l_2})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$|\vec{a}|^2 = 4(\vec{l_1} \cdot \vec{l_1}) - 2(\vec{l_1} \cdot \vec{l_2}) - 2(\vec{l_2} \cdot \vec{l_1}) + (\vec{l_2} \cdot \vec{l_2}) = 4|\vec{l_1}|^2 - 4(\vec{l_1} \cdot \vec{l_2}) + |\vec{l_2}|^2$

Подставим известные значения $|\vec{l_1}|=1, |\vec{l_2}|=1$ и $\vec{l_1} \cdot \vec{l_2}=0$:

$|\vec{a}|^2 = 4(1)^2 - 4(0) + (1)^2 = 4 - 0 + 1 = 5$

Отсюда, модуль вектора $\vec{a}$ равен:

$|\vec{a}| = \sqrt{5}$

Ответ: $|\vec{a}| = \sqrt{5}$.

$|\vec{b}|$

Аналогично найдем квадрат модуля вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = (\vec{l_1} + 2\vec{l_2}) \cdot (\vec{l_1} + 2\vec{l_2})$

$|\vec{b}|^2 = (\vec{l_1} \cdot \vec{l_1}) + 2(\vec{l_1} \cdot \vec{l_2}) + 2(\vec{l_2} \cdot \vec{l_1}) + 4(\vec{l_2} \cdot \vec{l_2}) = |\vec{l_1}|^2 + 4(\vec{l_1} \cdot \vec{l_2}) + 4|\vec{l_2}|^2$

Подставим известные значения:

$|\vec{b}|^2 = (1)^2 + 4(0) + 4(1)^2 = 1 + 0 + 4 = 5$

Модуль вектора $\vec{b}$ равен:

$|\vec{b}| = \sqrt{5}$

Ответ: $|\vec{b}| = \sqrt{5}$.

$|\vec{a}+\vec{b}|$

Сначала найдем вектор суммы $\vec{a}+\vec{b}$:

$\vec{a} + \vec{b} = (2\vec{l_1} - \vec{l_2}) + (\vec{l_1} + 2\vec{l_2}) = (2+1)\vec{l_1} + (-1+2)\vec{l_2} = 3\vec{l_1} + \vec{l_2}$

Теперь найдем модуль этого вектора:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (3\vec{l_1} + \vec{l_2}) \cdot (3\vec{l_1} + \vec{l_2}) = 9|\vec{l_1}|^2 + 6(\vec{l_1} \cdot \vec{l_2}) + |\vec{l_2}|^2$

Подставляем известные значения:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 9(1)^2 + 6(0) + (1)^2 = 9 + 0 + 1 = 10$

Модуль суммы векторов равен:

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{10}$

Ответ: $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{10}$.

$|\vec{a}-\vec{b}|$

Сначала найдем вектор разности $\vec{a}-\vec{b}$:

$\vec{a} - \vec{b} = (2\vec{l_1} - \vec{l_2}) - (\vec{l_1} + 2\vec{l_2}) = (2-1)\vec{l_1} + (-1-2)\vec{l_2} = \vec{l_1} - 3\vec{l_2}$

Теперь найдем модуль этого вектора:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{l_1} - 3\vec{l_2}) \cdot (\vec{l_1} - 3\vec{l_2}) = |\vec{l_1}|^2 - 6(\vec{l_1} \cdot \vec{l_2}) + 9|\vec{l_2}|^2$

Подставляем известные значения:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (1)^2 - 6(0) + 9(1)^2 = 1 - 0 + 9 = 10$

Модуль разности векторов равен:

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{10}$

Ответ: $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{10}$.

Угол между векторами $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{b}$

Обозначим угол между векторами $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{b}$ как $\theta$. Косинус этого угла можно найти по формуле скалярного произведения:

$\cos\theta = \frac{(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b})}{|\vec{a}+\vec{b}| \cdot |\vec{a}-\vec{b}|}$

Найдем скалярное произведение в числителе:

$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$

Из предыдущих пунктов мы знаем, что $|\vec{a}|^2 = 5$ и $|\vec{b}|^2 = 5$.

$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b}) = 5 - 5 = 0$

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{b}$ взаимно перпендикулярны.

$\cos\theta = \frac{0}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = 0$

Следовательно, угол $\theta = 90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).

Ответ: $90^\circ$.

1.78. Полагая, что $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1, \widehat{(\vec{a},\vec{b})}=60^\circ$, найдите значения $|\vec{a}+\vec{b}|$ и угол $\widehat{(\vec{a},\vec{a}+\vec{b})}$.

Значение $|\vec{a}+\vec{b}|$

Для нахождения модуля суммы векторов воспользуемся свойством скалярного произведения: квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату, то есть $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$.

Для вектора суммы $\vec{a}+\vec{b}$ имеем:

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b})$

Раскроем скобки, используя дистрибутивность скалярного произведения:

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$.

Подставим данные из условия: $|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=1$, $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})=60^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Теперь подставим все вычисленные и данные значения в выражение для квадрата модуля суммы:

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = 1^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 1^2 = 1 + 1 + 1 = 3$

Отсюда находим модуль вектора суммы:

$|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{3}$

Ответ: $|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{3}$.

Угол $(\widehat{\vec{a}, \vec{a}+\vec{b}})$

Обозначим искомый угол через $\beta = (\widehat{\vec{a}, \vec{a}+\vec{b}})$. Для его нахождения также воспользуемся скалярным произведением, но уже для векторов $\vec{a}$ и $\vec{a}+\vec{b}$:

$\cos(\beta) = \frac{\vec{a} \cdot (\vec{a}+\vec{b})}{|\vec{a}||\vec{a}+\vec{b}|}$

Вычислим скалярное произведение в числителе:

$\vec{a} \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b}$

Используя ранее вычисленные значения $|\vec{a}|^2=1$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$, получаем:

$\vec{a} \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Значения модулей в знаменателе нам известны: $|\vec{a}|=1$ и $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{3}$ (из предыдущего пункта).

Подставляем все в формулу для косинуса угла:

$\cos(\beta) = \frac{3/2}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Упростим полученное выражение:

$\cos(\beta) = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Угол $\beta$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ равен $30^\circ$.

$\beta = 30^\circ$

Геометрическая интерпретация:

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с равными модулями и углом $60^\circ$ между ними образуют смежные стороны ромба. Вектор суммы $\vec{a}+\vec{b}$ является диагональю этого ромба. В ромбе диагональ является биссектрисой угла, из которого она исходит. Следовательно, угол между вектором $\vec{a}$ и вектором $\vec{a}+\vec{b}$ равен половине угла между $\vec{a}$ и $\vec{b}$, то есть $60^\circ / 2 = 30^\circ$.

Ответ: $(\widehat{\vec{a}, \vec{a}+\vec{b}}) = 30^\circ$.

1.79. Если $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$, $\vec{a} \not\parallel \vec{b}$, то векторы $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{b}$ перпендикулярны. Докажите.

Для того чтобы доказать, что векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ перпендикулярны, необходимо и достаточно показать, что их скалярное произведение равно нулю.

Алгебраическое доказательство:

Вычислим скалярное произведение векторов $(\vec{a} + \vec{b})$ и $(\vec{a} - \vec{b})$, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность):

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) + \vec{b} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$

Поскольку скалярное произведение коммутативно, то есть $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$, слагаемые $-\vec{a} \cdot \vec{b}$ и $+\vec{b} \cdot \vec{a}$ сокращаются. Тогда выражение принимает вид:

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$

Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля: $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$. Следовательно:

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$

Согласно условию задачи, модули векторов равны единице: $|\vec{a}| = 1$ и $|\vec{b}| = 1$. Подставим эти значения в полученное равенство:

$|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 1^2 - 1^2 = 1 - 1 = 0$

Так как скалярное произведение векторов $(\vec{a} + \vec{b})$ и $(\vec{a} - \vec{b})$ равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Условие $\vec{a} \not\parallel \vec{b}$ гарантирует, что векторы суммы и разности не являются нулевыми векторами, для которых понятие перпендикулярности не определено.

Геометрическая интерпретация:

Рассмотрим векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ как стороны параллелограмма, исходящие из одной вершины. Вектор суммы $\vec{a} + \vec{b}$ и вектор разности $\vec{a} - \vec{b}$ являются диагоналями этого параллелограмма.

Поскольку по условию $|\vec{a}| = |\vec{b}|$, длины смежных сторон параллелограмма равны. Параллелограмм с равными сторонами является ромбом. А одним из ключевых свойств ромба является то, что его диагонали взаимно перпендикулярны. Следовательно, векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ перпендикулярны.

Ответ: Утверждение доказано. Векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ перпендикулярны.

1.80. Если векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ перпендикулярны, то выполняется равенство $|\vec{a}|=|\vec{b}|$. Покажите это.

Данное утверждение можно доказать как алгебраически, используя свойства скалярного произведения, так и геометрически, рассмотрев параллелограмм, построенный на этих векторах.

Алгебраическое доказательство

Основным свойством перпендикулярных векторов является то, что их скалярное произведение равно нулю. По условию задачи, векторы $ \vec{a} + \vec{b} $ и $ \vec{a} - \vec{b} $ перпендикулярны. Запишем это в виде уравнения:

$ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0 $

Теперь раскроем скобки, используя дистрибутивное свойство скалярного произведения (правило умножения многочленов):

$ \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = 0 $

Мы знаем, что скалярное произведение коммутативно, то есть $ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} $. Поэтому два средних члена в выражении взаимно уничтожаются: $ -\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} = 0 $.

Также известно, что скалярный квадрат вектора (скалярное произведение вектора на самого себя) равен квадрату его модуля (длины): $ \vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2 $.

Применив эти свойства, мы упрощаем уравнение:

$ |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0 $

Перенесем $ |\vec{b}|^2 $ в правую часть:

$ |\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 $

Поскольку модуль вектора — это его длина, он не может быть отрицательным. Следовательно, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей равенства, получив:

$ |\vec{a}| = |\vec{b}| $

Таким образом, мы доказали, что если векторы $ \vec{a} + \vec{b} $ и $ \vec{a} - \vec{b} $ перпендикулярны, то модули векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ равны.

Геометрическая интерпретация

Рассмотрим векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ как стороны параллелограмма, исходящие из одной вершины. В таком случае векторы $ \vec{a} + \vec{b} $ и $ \vec{a} - \vec{b} $ представляют собой диагонали этого параллелограмма.

Условие, что векторы $ \vec{a} + \vec{b} $ и $ \vec{a} - \vec{b} $ перпендикулярны, геометрически означает, что диагонали параллелограмма перпендикулярны.

Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, является ромбом. Главное свойство ромба заключается в том, что все его стороны равны. Поскольку стороны нашего параллелограмма — это векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, их длины (модули) должны быть одинаковы.

Следовательно, $ |\vec{a}| = |\vec{b}| $, что и требовалось показать.

Ответ: Утверждение доказано. Из условия перпендикулярности $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$ следует $|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0$, что равносильно $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

1.81. Пусть $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ и $\vec{a} \perp \vec{b}$. Найдите угол между векторами $\vec{a}+2\vec{b}$ и $2\vec{a}+\vec{b}$.

Для нахождения угла $\alpha$ между векторами $\vec{p} = \vec{a} + 2\vec{b}$ и $\vec{q} = 2\vec{a} + \vec{b}$ воспользуемся формулой, выражающей косинус угла через скалярное произведение векторов и их модули:

$\cos \alpha = \frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{|\vec{p}| |\vec{q}|}$

Из условий задачи нам известно, что модули векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны, то есть $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Давайте обозначим эту величину как $k$, где $k > 0$. Таким образом, $|\vec{a}| = |\vec{b}| = k$.

Также дано, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны ($\vec{a} \perp \vec{b}$). Это означает, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Теперь вычислим скалярное произведение векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$:

$\vec{p} \cdot \vec{q} = (\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$\vec{p} \cdot \vec{q} = \vec{a} \cdot (2\vec{a}) + \vec{a} \cdot \vec{b} + (2\vec{b}) \cdot (2\vec{a}) + (2\vec{b}) \cdot \vec{b} = 2(\vec{a} \cdot \vec{a}) + \vec{a} \cdot \vec{b} + 4(\vec{b} \cdot \vec{a}) + 2(\vec{b} \cdot \vec{b})$

Мы знаем, что скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля ($\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$), а также $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$. Тогда:

$\vec{p} \cdot \vec{q} = 2|\vec{a}|^2 + 5(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2|\vec{b}|^2$

Подставим известные значения $|\vec{a}| = |\vec{b}| = k$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$:

$\vec{p} \cdot \vec{q} = 2k^2 + 5(0) + 2k^2 = 4k^2$

Далее найдем модули векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$. Модуль вектора - это корень квадратный из его скалярного квадрата: $|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}}$.

Для вектора $\vec{p}$:

$|\vec{p}|^2 = (\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2 = k^2 + 4(0) + 4k^2 = 5k^2$

Следовательно, $|\vec{p}| = \sqrt{5k^2} = k\sqrt{5}$.

Для вектора $\vec{q}$:

$|\vec{q}|^2 = (2\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b}) = 4|\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = 4k^2 + 4(0) + k^2 = 5k^2$

Следовательно, $|\vec{q}| = \sqrt{5k^2} = k\sqrt{5}$.

Наконец, подставим найденные значения скалярного произведения и модулей в формулу для косинуса угла:

$\cos \alpha = \frac{4k^2}{(k\sqrt{5})(k\sqrt{5})} = \frac{4k^2}{5k^2} = \frac{4}{5}$

Искомый угол $\alpha$ равен арккосинусу полученного значения:

$\alpha = \arccos\left(\frac{4}{5}\right)$

Ответ: $\arccos\left(\frac{4}{5}\right)$.

1.82. Дан вектор $\vec{a}$. Постройте единичный вектор $\vec{b}$ так, чтобы выполнялось равенство $\vec{a} \cdot \vec{b}=1$. Всегда ли существует такой вектор $\vec{b}$?

Построение единичного вектора $\vec{b}$

Для решения задачи воспользуемся определением скалярного произведения векторов. Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равно произведению их длин на косинус угла между ними:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$

где $\theta$ — это угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

По условию задачи, нам дан вектор $\vec{a}$ и требуется построить единичный вектор $\vec{b}$, то есть вектор, длина которого равна единице ($|\vec{b}| = 1$). Также должно выполняться равенство $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$.

Подставим эти условия в формулу скалярного произведения:

$|\vec{a}| \cdot 1 \cdot \cos\theta = 1$

Из этого уравнения мы можем выразить косинус угла $\theta$ между искомым вектором $\vec{b}$ и данным вектором $\vec{a}$:

$\cos\theta = \frac{1}{|\vec{a}|}$

Это соотношение показывает, что скалярная проекция единичного вектора $\vec{b}$ на направление вектора $\vec{a}$ должна быть равна $\frac{1}{|\vec{a}|}$. На основе этого можно выполнить геометрическое построение:

1. Отложим вектор $\vec{a}$ от некоторой точки O.

2. На луче, определяемом вектором $\vec{a}$, отложим от точки O отрезок OP, длина которого равна $\frac{1}{|\vec{a}|}$. Точка P — это основание проекции вектора $\vec{b}$ на прямую, содержащую вектор $\vec{a}$.

3. Проведем через точку P прямую (в двумерном случае) или плоскость (в трехмерном случае), перпендикулярную вектору $\vec{a}$.

4. Построим окружность (в 2D) или сферу (в 3D) с центром в точке O и радиусом 1 (так как $|\vec{b}|=1$).

5. Любой вектор $\vec{b}$, проведенный из точки O в точку пересечения этой окружности/сферы и перпендикулярной прямой/плоскости, будет являться решением задачи. Если $|\vec{a}|>1$, то таких точек пересечения (и, соответственно, векторов) будет бесконечно много (они образуют окружность в 3D) или две (в 2D). Если $|\vec{a}|=1$, то будет одна точка пересечения, совпадающая с P.

Ниже представлен чертеж для двумерного случая.

Всегда ли существует такой вектор $\vec{b}$?

Рассмотрим полученное нами ранее условие: $\cos\theta = \frac{1}{|\vec{a}|}$.

Известно, что функция косинуса принимает значения в диапазоне от -1 до 1, то есть $-1 \le \cos\theta \le 1$. Следовательно, для существования угла $\theta$, а значит и вектора $\vec{b}$, необходимо, чтобы выполнялось неравенство:

$-1 \le \frac{1}{|\vec{a}|} \le 1$

Длина вектора $|\vec{a}|$ является неотрицательной величиной. Если $\vec{a} = \vec{0}$, то $|\vec{a}|=0$, и выражение $\frac{1}{|\vec{a}|}$ не определено. Кроме того, $\vec{0} \cdot \vec{b} = 0 \neq 1$. Поэтому вектор $\vec{a}$ не может быть нулевым, и его длина $|\vec{a}| > 0$.

Так как $|\vec{a}| > 0$, то и $\frac{1}{|\vec{a}|} > 0$. Поэтому двойное неравенство упрощается до одного:

$\frac{1}{|\vec{a}|} \le 1$

Умножив обе части на положительное число $|\vec{a}|$, получим равносильное неравенство:

$1 \le |\vec{a}|$ или $|\vec{a}| \ge 1$

Таким образом, мы приходим к выводу:

1. Если $|\vec{a}| \ge 1$, то $0 < \frac{1}{|\vec{a}|} \le 1$. В этом случае существует угол $\theta = \arccos\left(\frac{1}{|\vec{a}|}\right)$, и искомый вектор $\vec{b}$ существует.

2. Если $0 \le |\vec{a}| < 1$, то $\frac{1}{|\vec{a}|} > 1$. В этом случае уравнение $\cos\theta = \frac{1}{|\vec{a}|}$ не имеет решений, так как косинус не может быть больше 1. Следовательно, такой вектор $\vec{b}$ построить невозможно.

Ответ: Искомый единичный вектор $\vec{b}$ можно построить, если длина данного вектора $\vec{a}$ не меньше единицы ($|\vec{a}| \ge 1$). Построение описано выше. Если же длина вектора $\vec{a}$ меньше единицы ($|\vec{a}| < 1$), то такой вектор $\vec{b}$ не существует. Следовательно, такой вектор существует не всегда.

1.83. Сторона ромба $ABCD$ равна $a$, угол при вершине $A$ равен $60^\circ$ и точка $O$ – точка пересечения диагоналей ромба.

Вычислите:

1) $\vec{AB} \cdot \vec{AD}$;

2) $\vec{AB} \cdot \vec{CO}$;

3) $\vec{AB} \cdot \vec{AO}$;

4) $\vec{AD} \cdot \vec{DO}$;

5) $\vec{AO} \cdot \vec{BO}$.

По условию задачи, $ABCD$ — ромб со стороной $a$, углом при вершине A, равным $60^\circ$, и точкой $O$ — точкой пересечения диагоналей. Для вычисления скалярных произведений векторов нам понадобятся длины векторов и углы между ними.

Найдем основные геометрические характеристики ромба:

• Все стороны ромба равны $a$. Таким образом, $|\vec{AB}| = |\vec{AD}| = a$.
• Так как в треугольнике $\triangle ABD$ стороны $AB$ и $AD$ равны $a$, а угол между ними $\angle DAB = 60^\circ$, то этот треугольник является равносторонним. Следовательно, диагональ $BD = a$.
• Диагонали ромба в точке пересечения $O$ делятся пополам, поэтому $|\vec{BO}| = |\vec{OD}| = \frac{BD}{2} = \frac{a}{2}$.
• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$, и угол между ними $\angle AOB = 90^\circ$.
• В прямоугольном треугольнике $\triangle AOB$ по теореме Пифагора найдем длину отрезка $AO$: $|\vec{AO}| = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
• Так как диагонали делятся пополам, $|\vec{CO}| = |\vec{AO}| = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
• Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому $\angle OAB = \frac{\angle DAB}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$. Аналогично, $\angle ODA = \angle ADB = 60^\circ$ (из равностороннего $\triangle ABD$).

Теперь вычислим требуемые скалярные произведения.

1) $\vec{AB} \cdot \vec{AD}$

Скалярное произведение векторов по определению равно произведению их длин на косинус угла между ними. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ равен $\angle DAB = 60^\circ$.

$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(\angle DAB) = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Ответ: $\frac{a^2}{2}$

2) $\vec{AB} \cdot \vec{CO}$

Векторы $\vec{CO}$ и $\vec{AO}$ противоположны по направлению, так как $\vec{CO} = -\vec{OC}$, а векторы $\vec{OC}$ и $\vec{AO}$ коллинеарны, сонаправлены и равны по длине, т.е. $\vec{OC} = \vec{AO}$. Таким образом, $\vec{CO} = -\vec{AO}$.

$\vec{AB} \cdot \vec{CO} = \vec{AB} \cdot (-\vec{AO}) = -(\vec{AB} \cdot \vec{AO})$.

Вычислим $\vec{AB} \cdot \vec{AO}$. Угол между этими векторами $\angle OAB = 30^\circ$.

$\vec{AB} \cdot \vec{AO} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AO}| \cdot \cos(\angle OAB) = a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(30^\circ) = a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2}{4}$.

Следовательно, $\vec{AB} \cdot \vec{CO} = -\frac{3a^2}{4}$.

Ответ: $-\frac{3a^2}{4}$

3) $\vec{AB} \cdot \vec{AO}$

Это скалярное произведение было вычислено как промежуточный шаг в предыдущем пункте.

$\vec{AB} \cdot \vec{AO} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AO}| \cdot \cos(\angle OAB) = a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(30^\circ) = a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2}{4}$.

Ответ: $\frac{3a^2}{4}$

4) $\vec{AD} \cdot \vec{DO}$

Для нахождения скалярного произведения векторов, имеющих общую точку (один вектор заканчивается там, где начинается другой), удобно рассмотреть векторы, выходящие из одной точки. Векторы $\vec{DA}$ и $\vec{DO}$ выходят из точки D. Угол между ними $\angle ODA = 60^\circ$.

Заметим, что $\vec{AD} = -\vec{DA}$.

$\vec{AD} \cdot \vec{DO} = (-\vec{DA}) \cdot \vec{DO} = -(\vec{DA} \cdot \vec{DO})$.

$\vec{DA} \cdot \vec{DO} = |\vec{DA}| \cdot |\vec{DO}| \cdot \cos(\angle ODA) = a \cdot \frac{a}{2} \cdot \cos(60^\circ) = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{4}$.

Следовательно, $\vec{AD} \cdot \vec{DO} = -\frac{a^2}{4}$.

Ответ: $-\frac{a^2}{4}$

5) $\vec{AO} \cdot \vec{BO}$

Вектор $\vec{AO}$ лежит на диагонали $AC$, а вектор $\vec{BO}$ — на диагонали $BD$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Это означает, что угол между любыми векторами, лежащими на этих диагоналях, равен $90^\circ$ или $270^\circ$, если они не нулевые. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.

Более формально, перенесем векторы так, чтобы они исходили из одной точки, например $O$. Вектор $\vec{AO}$ равен $-\vec{OA}$, а вектор $\vec{BO}$ равен $-\vec{OB}$.

$\vec{AO} \cdot \vec{BO} = (-\vec{OA}) \cdot (-\vec{OB}) = \vec{OA} \cdot \vec{OB}$.

Угол между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ равен $\angle AOB = 90^\circ$.

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}| \cdot |\vec{OB}| \cdot \cos(90^\circ) = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$

1.84. Докажите, что сумма квадратов диагоналей ромба равна квадрату стороны, умноженную на 4. Приведите векторный и не векторный способы доказательства.

Невекторный способ

Рассмотрим ромб ABCD со стороной $a$ и диагоналями $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$.

По свойству ромба, его диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения O делятся пополам. Следовательно, мы получаем четыре равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из них, например, треугольник $\triangle AOB$. В нем:

• Гипотенуза $AB$ равна стороне ромба $a$.
• Катет $AO$ равен половине диагонали $AC$, то есть $AO = \frac{d_1}{2}$.
• Катет $BO$ равен половине диагонали $BD$, то есть $BO = \frac{d_2}{2}$.
• Угол $\angle AOB$ прямой ($90^\circ$).

Применим к треугольнику $\triangle AOB$ теорему Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $AB^2 = AO^2 + BO^2$

Подставим в это уравнение длины сторон треугольника: $a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$

Раскроем скобки: $a^2 = \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4}$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 4: $4a^2 = d_1^2 + d_2^2$

Таким образом, доказано, что сумма квадратов диагоналей ромба равна квадрату его стороны, умноженному на 4.

Ответ: Доказано, что $d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$.

Векторный способ

Пусть ромб задан векторами, выходящими из одной вершины, например, A. Обозначим вектор $\vec{AB} = \vec{x}$ и вектор $\vec{AD} = \vec{y}$.

Поскольку это ромб, длины (модули) векторов, образующих его стороны, равны. Пусть длина стороны ромба равна $a$. Тогда: $|\vec{x}| = |\vec{y}| = a$

Векторы диагоналей ромба можно выразить через векторы его сторон.

• Вектор диагонали $\vec{AC}$ является суммой векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$. Так как $\vec{BC}$ равен $\vec{AD}$, то $\vec{d_1} = \vec{AC} = \vec{x} + \vec{y}$.
• Вектор диагонали $\vec{BD}$ является разностью векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$. То есть $\vec{d_2} = \vec{BD} = \vec{y} - \vec{x}$.

Найдем сумму квадратов длин диагоналей. Квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату ($|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$). $|\vec{d_1}|^2 + |\vec{d_2}|^2 = (\vec{x} + \vec{y}) \cdot (\vec{x} + \vec{y}) + (\vec{y} - \vec{x}) \cdot (\vec{y} - \vec{x})$

Раскроем скалярные произведения: $|\vec{d_1}|^2 = \vec{x} \cdot \vec{x} + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + \vec{y} \cdot \vec{y} = |\vec{x}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + |\vec{y}|^2$
$|\vec{d_2}|^2 = \vec{y} \cdot \vec{y} - 2(\vec{y} \cdot \vec{x}) + \vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{y}|^2 - 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + |\vec{x}|^2$

Сложим полученные выражения: $|\vec{d_1}|^2 + |\vec{d_2}|^2 = (|\vec{x}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + |\vec{y}|^2) + (|\vec{y}|^2 - 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + |\vec{x}|^2)$

Упростим, сократив $2(\vec{x} \cdot \vec{y})$ и $-2(\vec{x} \cdot \vec{y})$: $|\vec{d_1}|^2 + |\vec{d_2}|^2 = 2|\vec{x}|^2 + 2|\vec{y}|^2$

Так как $|\vec{x}| = |\vec{y}| = a$ (длина стороны ромба), подставим это значение в уравнение: $|\vec{d_1}|^2 + |\vec{d_2}|^2 = 2a^2 + 2a^2 = 4a^2$

Таким образом, мы доказали, что сумма квадратов длин диагоналей ромба равна учетверенному квадрату длины его стороны.

Ответ: Доказано, что $d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$.

1.85. Следует ли равенство $\vec{b}=\vec{c}$ из равенства $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$?

Обоснуйте ответ.

Нет, из равенства $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ в общем случае не следует, что $\vec{b} = \vec{c}$.

Обоснование

Рассмотрим данное равенство: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$.

Перенесем все члены в одну сторону:

$\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c} = 0$

Используя дистрибутивное свойство скалярного произведения, вынесем вектор $\vec{a}$ за скобки:

$\vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$

Скалярное произведение двух векторов равно нулю, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Один из векторов (или оба) является нулевым вектором.
2. Векторы ортогональны (перпендикулярны) друг другу.

Применим это к нашему выражению $\vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$. Равенство будет верным, если:

• 1. $\vec{a} = \vec{0}$. В этом случае равенство будет выполняться для любых векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$, которые не обязательно равны между собой.
• 2. $\vec{b} - \vec{c} = \vec{0}$, что равносильно $\vec{b} = \vec{c}$. Это тот случай, когда заключение верно, но он не является единственно возможным.
• 3. Вектор $\vec{a}$ ортогонален вектору $(\vec{b} - \vec{c})$, при условии что $\vec{a} \neq \vec{0}$ и $\vec{b} - \vec{c} \neq \vec{0}$. Последнее условие как раз означает, что $\vec{b} \neq \vec{c}$.

Поскольку существуют случаи (1 и 3), когда исходное равенство $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ выполняется, но при этом $\vec{b} \neq \vec{c}$, то мы не можем однозначно утверждать, что из одного следует другое.

Приведем контрпример:

Пусть векторы заданы в декартовой системе координат:

$\vec{a} = (1, 1, 0)$

$\vec{b} = (3, 5, 2)$

$\vec{c} = (5, 3, 7)$

Очевидно, что $\vec{b} \neq \vec{c}$.

Теперь вычислим скалярные произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1 \cdot 3) + (1 \cdot 5) + (0 \cdot 2) = 3 + 5 + 0 = 8$

$\vec{a} \cdot \vec{c} = (1 \cdot 5) + (1 \cdot 3) + (0 \cdot 7) = 5 + 3 + 0 = 8$

Мы видим, что $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$, но $\vec{b} \neq \vec{c}$.

Геометрически равенство $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ означает, что проекции векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$ на направление вектора $\vec{a}$ равны. При этом сами векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ могут быть разными.

Ответ: Нет, не следует.

1.86. Найдите вектор $\vec{x}$, удовлетворяющий равенству если $\vec{a}\vec{x} = \vec{b}\vec{x} = \vec{c}\vec{x}$, $\vec{a} \nVdash \vec{b}$, $\vec{a} \nVdash \vec{c}$, $\vec{b} \nVdash \vec{c}$.

Пусть дано равенство $\vec{a}\vec{x} = \vec{b}\vec{x} = \vec{c}\vec{x}$. Это скалярное произведение векторов. Данное равенство эквивалентно системе двух уравнений:

1) $\vec{a}\vec{x} = \vec{b}\vec{x}$

2) $\vec{b}\vec{x} = \vec{c}\vec{x}$

Перенесём все члены в левую часть в каждом уравнении:

1) $\vec{a}\vec{x} - \vec{b}\vec{x} = 0$

2) $\vec{b}\vec{x} - \vec{c}\vec{x} = 0$

Используя дистрибутивное свойство скалярного произведения, вынесем вектор $\vec{x}$ за скобки:

1) $(\vec{a} - \vec{b})\vec{x} = 0$

2) $(\vec{b} - \vec{c})\vec{x} = 0$

Первое уравнение означает, что вектор $\vec{x}$ ортогонален (перпендикулярен) вектору $(\vec{a} - \vec{b})$.

Второе уравнение означает, что вектор $\vec{x}$ ортогонален вектору $(\vec{b} - \vec{c})$.

По условию векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ попарно не коллинеарны, поэтому разности $(\vec{a} - \vec{b})$ и $(\vec{b} - \vec{c})$ не являются нулевыми векторами.

Если вектор $\vec{x}$ ортогонален двум неколлинеарным векторам, то он коллинеарен их векторному произведению. Таким образом, вектор $\vec{x}$ должен быть коллинеарен вектору $(\vec{a} - \vec{b}) \times (\vec{b} - \vec{c})$.

Запишем это в виде формулы:

$\vec{x} = \lambda [(\vec{a} - \vec{b}) \times (\vec{b} - \vec{c})]$, где $\lambda$ — произвольный скаляр (число).

Теперь раскроем скобки в векторном произведении, используя его свойства (дистрибутивность и антикоммутативность):

$(\vec{a} - \vec{b}) \times (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} - \vec{a} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c}$

Мы знаем, что векторное произведение любого вектора на самого себя равно нулевому вектору ($\vec{b} \times \vec{b} = \vec{0}$) и что $\vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u}$ (антикоммутативность), поэтому $-\vec{a} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$.

Подставляя эти свойства в выражение, получаем:

$\vec{a} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{a} - \vec{0} + \vec{b} \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}$

Таким образом, искомый вектор $\vec{x}$ коллинеарен вектору $\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}$.

Этот результирующий вектор не равен нулю, если векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ не компланарны, или если они компланарны, но их концы не лежат на одной прямой (если отложить их от общего начала). Если же концы векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ лежат на одной прямой, то векторное произведение равно нулю, и решением будет только тривиальный вектор $\vec{x} = \vec{0}$ (хотя в этом частном случае решением является любая линейная комбинация векторов, ортогональных этой прямой). В общем случае решение записывается через векторное произведение.

Решение:

Вектор $\vec{x}$ должен удовлетворять системе уравнений $(\vec{a} - \vec{b})\cdot\vec{x} = 0$ и $(\vec{b} - \vec{c})\cdot\vec{x} = 0$. Это означает, что $\vec{x}$ ортогонален как вектору $(\vec{a} - \vec{b})$, так и вектору $(\vec{b} - \vec{c})$. Следовательно, $\vec{x}$ должен быть коллинеарен их векторному произведению: $\vec{x} = \lambda [(\vec{a} - \vec{b}) \times (\vec{b} - \vec{c})]$ Раскрывая векторное произведение, получаем: $\vec{x} = \lambda (\vec{a} \times \vec{b} - \vec{a} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c}) = \lambda (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a})$ где $\lambda$ — любое действительное число.

Ответ: $\vec{x} = \lambda (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a})$, где $\lambda \in \mathbb{R}$.

1.87. Покажите, что для любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и выполняется неравенство $-\left|\vec{a}\right| \cdot \left|\vec{b}\right| \leq \vec{a} \cdot \vec{b} \leq \left|\vec{a}\right| \cdot \left|\vec{b}\right|$. При каких условиях выполняется равенство?

Доказательство неравенства $-|\vec{a}||\vec{b}| \le \vec{a} \cdot \vec{b} \le |\vec{a}||\vec{b}|$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется формулой:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos\theta$

где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это модули (длины) векторов, а $\theta$ — угол между ними.

Рассмотрим два случая.

1. Если хотя бы один из векторов является нулевым (например, $\vec{a} = \vec{0}$), то его модуль равен нулю ($|\vec{a}| = 0$). В этом случае скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, и произведение модулей $|\vec{a}||\vec{b}| = 0$. Неравенство принимает вид $0 \le 0 \le 0$, что является верным.

2. Если оба вектора ненулевые, то $|\vec{a}| > 0$ и $|\vec{b}| > 0$. Для любого угла $\theta$ значение его косинуса находится в пределах от -1 до 1:

$-1 \le \cos\theta \le 1$

Умножим все части этого двойного неравенства на положительное число $|\vec{a}||\vec{b}|$. Знак неравенства при этом не изменится:

$-1 \cdot |\vec{a}||\vec{b}| \le |\vec{a}||\vec{b}| \cos\theta \le 1 \cdot |\vec{a}||\vec{b}|$

Заменив среднюю часть на скалярное произведение, получаем искомое неравенство:

$-|\vec{a}||\vec{b}| \le \vec{a} \cdot \vec{b} \le |\vec{a}||\vec{b}|$

Таким образом, неравенство справедливо для любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Ответ: Неравенство доказано на основе определения скалярного произведения и свойства функции косинуса.

Условия выполнения равенства

Равенство в данном неравенстве достигается в двух предельных случаях, которые соответствуют крайним значениям косинуса.

Случай 1: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|$

Из определения скалярного произведения следует:

$|\vec{a}||\vec{b}| \cos\theta = |\vec{a}||\vec{b}|$

Если хотя бы один из векторов нулевой, равенство выполняется, так как обе части равны нулю ($0 = 0$). Если оба вектора ненулевые, можно разделить обе части на $|\vec{a}||\vec{b}| \ne 0$, что дает:

$\cos\theta = 1$

Это условие выполняется, когда угол между векторами $\theta = 0$. Векторы с таким углом называются сонаправленными ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$).

Случай 2: $\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|$

Аналогично, из определения получаем:

$|\vec{a}||\vec{b}| \cos\theta = -|\vec{a}||\vec{b}|$

Если хотя бы один из векторов нулевой, равенство снова выполняется ($0 = 0$). Для ненулевых векторов, разделив на $|\vec{a}||\vec{b}|$, получим:

$\cos\theta = -1$

Это условие выполняется, когда угол между векторами $\theta = \pi$ (или $180^\circ$). Векторы с таким углом называются противоположно направленными ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$).

В обоих случаях, когда достигается равенство, векторы являются коллинеарными (лежат на одной прямой или на параллельных прямых). Нулевой вектор по определению коллинеарен любому другому вектору.

Ответ: Равенство в правой части ($\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|$) выполняется, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены. Равенство в левой части ($\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|$) выполняется, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены. В общем, равенство $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|$ достигается тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.