Страница 43 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.88. Известно, что для действительных чисел $\alpha, \beta, \gamma$ выполняется равенство $(\alpha\beta)\gamma = \alpha(\beta\gamma)$. Выполняется ли аналогичное равенство для скалярного произведения векторов, т.е. выполняется ли равенство $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ для любых векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$?

Для ответа на этот вопрос необходимо проанализировать выражения в левой и правой частях предполагаемого равенства $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$.

Анализ левой части $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c}$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является скаляром (числом). Обозначим это число как $k = \vec{a} \cdot \vec{b}$. Тогда выражение в левой части принимает вид $k \cdot \vec{c}$. Операция "скалярное произведение", обозначаемая точкой, определена для двух векторов. Операция скалярного произведения между скаляром $k$ и вектором $\vec{c}$ не определена. Следовательно, выражение в левой части некорректно с точки зрения стандартных определений векторной алгебры.

Анализ правой части $\vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$

Аналогично, скалярное произведение $\vec{b} \cdot \vec{c}$ является скаляром. Обозначим его $m = \vec{b} \cdot \vec{c}$. Тогда выражение в правой части приобретает вид $\vec{a} \cdot m$. Это также некорректное выражение, так как операция скалярного произведения не определена для вектора и скаляра.

Поскольку обе части равенства представляют собой математически неопределенные операции, само равенство не может считаться выполняющимся. Таким образом, свойство ассоциативности (сочетательности) для операции скалярного произведения не выполняется.

Рассмотрение альтернативной трактовки

Можно предположить, что в выражении имеется в виду не повторное скалярное произведение, а умножение вектора на скаляр, полученный в результате первого скалярного произведения. В этом случае равенство следует понимать как $(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = \vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{c})$. Проверим, выполняется ли это равенство для произвольных векторов.

Вектор в левой части, $(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$, является результатом умножения вектора $\vec{c}$ на скаляр $(\vec{a} \cdot \vec{b})$. Этот результирующий вектор коллинеарен вектору $\vec{c}$ (или является нулевым вектором). Вектор в правой части, $\vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{c})$, коллинеарен вектору $\vec{a}$. Равенство векторов возможно, только если они имеют одинаковое направление и одинаковую длину. В общем случае, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ не коллинеарны, равенство может выполняться только тогда, когда обе части равны нулевому вектору.

Чтобы доказать, что равенство не выполняется в общем случае, достаточно привести один контрпример. Возьмем в качестве базиса ортонормированные векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$ на плоскости. Пусть $\vec{a} = \vec{i}$, $\vec{b} = \vec{i}$ и $\vec{c} = \vec{j}$.

Найдем левую часть: $(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = (\vec{i} \cdot \vec{i})\vec{j} = 1 \cdot \vec{j} = \vec{j}$.

Найдем правую часть: $\vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{c}) = \vec{i}(\vec{i} \cdot \vec{j}) = \vec{i} \cdot 0 = \vec{0}$.

Так как $\vec{j} \neq \vec{0}$, то левая часть не равна правой. Это доказывает, что равенство не выполняется.

Ответ: Нет, равенство $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ для скалярного произведения векторов не выполняется. Основная причина в том, что данные выражения математически не определены: результатом скалярного произведения $(\vec{a} \cdot \vec{b})$ является скаляр, а операция скалярного произведения скаляра и вектора $\vec{c}$ не существует. Если же трактовать данное выражение как $(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = \vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{c})$, где производится умножение вектора на скаляр, то это равенство также не выполняется в общем случае, так как вектор в левой части коллинеарен $\vec{c}$, а в правой — коллинеарен $\vec{a}$, что неверно для произвольных неколлинеарных векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$.

1.89. Покажите, что выполняется равенство $\vec{AB} \cdot \vec{CD} + \vec{AD} \times \vec{BC} - \vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$ для любых точек плоскости A, B, C, D.

В представленном выражении $\vec{AB} \cdot \vec{CD} + \vec{AD} \times \vec{BC} - \vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$ смешиваются операции скалярного и векторного произведения. Результатом скалярного произведения $(\cdot)$ является скаляр (число), а результатом векторного произведения $(\times)$ двух векторов на плоскости является вектор, перпендикулярный этой плоскости (или псевдоскаляр в 2D алгебре). Сложение скаляров и вектора является математически некорректной операцией. Следовательно, данное равенство в исходной форме не может быть доказано, так как оно не является корректно составленным математическим выражением.

Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка, и вместо знака векторного произведения '×' должен стоять знак скалярного произведения '·'. Такое тождество является верным для любых четырех точек в пространстве (и, следовательно, на плоскости). Исправленное равенство выглядит так:

$\vec{AB} \cdot \vec{CD} + \vec{AD} \cdot \vec{BC} - \vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$

Докажем это тождество. Для этого выберем одну из точек, например A, в качестве начала координат и выразим все векторы через векторы, отложенные от этой точки. Пусть $\vec{b} = \vec{AB}$, $\vec{c} = \vec{AC}$ и $\vec{d} = \vec{AD}$.

Используя правило вычитания векторов, выразим остальные векторы, входящие в равенство:

$\vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC} = \vec{d} - \vec{c}$

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = \vec{c} - \vec{b}$

$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{d} - \vec{b}$

Теперь подставим эти выражения в левую часть доказываемого тождества и преобразуем его:

$\vec{AB} \cdot \vec{CD} + \vec{AD} \cdot \vec{BC} - \vec{AC} \cdot \vec{BD} = \vec{b} \cdot (\vec{d} - \vec{c}) + \vec{d} \cdot (\vec{c} - \vec{b}) - \vec{c} \cdot (\vec{d} - \vec{b})$

Раскроем скобки, используя свойство дистрибутивности скалярного произведения относительно сложения векторов:

$= (\vec{b} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{c}) + (\vec{d} \cdot \vec{c} - \vec{d} \cdot \vec{b}) - (\vec{c} \cdot \vec{d} - \vec{c} \cdot \vec{b})$

$= \vec{b} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{d} \cdot \vec{c} - \vec{d} \cdot \vec{b} - \vec{c} \cdot \vec{d} + \vec{c} \cdot \vec{b}$

Сгруппируем слагаемые, учитывая свойство коммутативности скалярного произведения ($\vec{x} \cdot \vec{y} = \vec{y} \cdot \vec{x}$):

$= (\vec{b} \cdot \vec{d} - \vec{d} \cdot \vec{b}) + (-\vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{b}) + (\vec{d} \cdot \vec{c} - \vec{c} \cdot \vec{d})$

$= 0 + 0 + 0 = 0$

Таким образом, левая часть тождества равна нулю, что и требовалось доказать. Равенство выполняется для любых четырех точек A, B, C, D на плоскости (и в пространстве).

Ответ: Исходное равенство в представленном виде некорректно с математической точки зрения. Если предположить опечатку в условии и заменить векторное произведение на скалярное, то полученное тождество $\vec{AB} \cdot \vec{CD} + \vec{AD} \cdot \vec{BC} - \vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$ является верным. Его доказательство основано на выражении всех векторов через три вектора с общим началом и последующем алгебраическом упрощении, которое показывает, что сумма равна нулю.

1.90. Вне треугольника $ABC$ на его сторонах построены параллелограммы $ABB_1A_2$, $BCC_1B_2$ и $ACC_2A_1$. Покажите, что можно построить треугольник, стороны которого равны и параллельны отрезкам $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Пусть $A, B, C$ — вершины треугольника, а их положение на плоскости задано радиус-векторами $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ соответственно, проведенными из некоторого общего начала $O$. Положение любой другой точки $X$ будем обозначать ее радиус-вектором $\vec{x}$.

Условие, что четырехугольник $WXYZ$ является параллелограммом (с вершинами в указанном порядке), равносильно тому, что середины его диагоналей совпадают. В векторной форме это записывается как равенство сумм радиус-векторов противоположных вершин: $\vec{w} + \vec{y} = \vec{x} + \vec{z}$.

Применим это свойство к каждому из трех заданных параллелограммов:

1. Для параллелограмма $ABB_1A_2$ противоположными вершинами являются пары $(A, B_1)$ и $(B, A_2)$. Следовательно:
$\vec{a} + \vec{b_1} = \vec{b} + \vec{a_2}$ (1)

2. Для параллелограмма $BCC_1B_2$ противоположными вершинами являются пары $(B, C_1)$ и $(C, B_2)$. Следовательно:
$\vec{b} + \vec{c_1} = \vec{c} + \vec{b_2}$ (2)

3. Для параллелограмма $ACC_2A_1$ противоположными вершинами являются пары $(A, C_2)$ и $(C, A_1)$. Следовательно:
$\vec{a} + \vec{c_2} = \vec{c} + \vec{a_1}$ (3)

Нам нужно доказать, что из отрезков $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$ можно составить треугольник. Это возможно, если сумма векторов, соответствующих этим отрезкам, равна нулевому вектору:
$\vec{A_1A_2} + \vec{B_1B_2} + \vec{C_1C_2} = \vec{0}$

Выразим эти векторы через радиус-векторы их конечных точек:
$\vec{A_1A_2} = \vec{a_2} - \vec{a_1}$
$\vec{B_1B_2} = \vec{b_2} - \vec{b_1}$
$\vec{C_1C_2} = \vec{c_2} - \vec{c_1}$

Теперь найдем их сумму:
$S = (\vec{a_2} - \vec{a_1}) + (\vec{b_2} - \vec{b_1}) + (\vec{c_2} - \vec{c_1})$

Из уравнений (1), (2) и (3) выразим векторы $\vec{a_2}$, $\vec{b_2}$ и $\vec{a_1}$:
$\vec{a_2} = \vec{a} + \vec{b_1} - \vec{b}$
$\vec{b_2} = \vec{b} + \vec{c_1} - \vec{c}$
$\vec{a_1} = \vec{a} + \vec{c_2} - \vec{c}$

Подставим эти выражения в векторы $\vec{A_1A_2}$ и $\vec{B_1B_2}$:
$\vec{A_1A_2} = \vec{a_2} - \vec{a_1} = (\vec{a} + \vec{b_1} - \vec{b}) - (\vec{a} + \vec{c_2} - \vec{c}) = \vec{b_1} - \vec{b} - \vec{c_2} + \vec{c}$
$\vec{B_1B_2} = \vec{b_2} - \vec{b_1} = (\vec{b} + \vec{c_1} - \vec{c}) - \vec{b_1} = \vec{b} + \vec{c_1} - \vec{c} - \vec{b_1}$
Вектор $\vec{C_1C_2}$ оставляем без изменений: $\vec{C_1C_2} = \vec{c_2} - \vec{c_1}$

Теперь сложим эти три вектора:
$S = \vec{A_1A_2} + \vec{B_1B_2} + \vec{C_1C_2} = (\vec{b_1} - \vec{b} - \vec{c_2} + \vec{c}) + (\vec{b} + \vec{c_1} - \vec{c} - \vec{b_1}) + (\vec{c_2} - \vec{c_1})$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми векторами:
$S = (\vec{b_1} - \vec{b_1}) + (-\vec{b} + \vec{b}) + (-\vec{c_2} + \vec{c_2}) + (\vec{c} - \vec{c}) + (\vec{c_1} - \vec{c_1})$
$S = \vec{0} + \vec{0} + \vec{0} + \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}$

Поскольку сумма векторов $\vec{A_1A_2}$, $\vec{B_1B_2}$ и $\vec{C_1C_2}$ равна нулевому вектору, это означает, что если отложить эти векторы последовательно друг за другом, начало первого вектора совпадет с концом последнего. Таким образом, эти три отрезка образуют замкнутую фигуру — треугольник, стороны которого равны и параллельны отрезкам $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма векторов $\vec{A_1A_2} + \vec{B_1B_2} + \vec{C_1C_2}$ равна нулю, что является необходимым и достаточным условием для того, чтобы из отрезков, равных и параллельных данным, можно было построить треугольник.

1.91. Покажите, что сумма квадратов медиан треугольника равна $\frac{3}{4}$ суммы квадратов его сторон.

Для доказательства воспользуемся формулой для вычисления длины медианы треугольника через длины его сторон. Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $a$, $b$ и $c$, где $a = BC$, $b = AC$ и $c = AB$. Медианы, проведенные к этим сторонам, обозначим соответственно $m_a$, $m_b$ и $m_c$.

Длина медианы, проведенной к стороне $a$, вычисляется по формуле (следствие из теоремы Аполлония):

$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

Аналогично запишем формулы для двух других медиан:

$m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}$

$m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$

Теперь найдем сумму квадратов длин всех трех медиан:

$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} + \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4} + \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$

Сложим дроби, приведя их к общему знаменателю 4:

$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{(2b^2 + 2c^2 - a^2) + (2a^2 + 2c^2 - b^2) + (2a^2 + 2b^2 - c^2)}{4}$

Сгруппируем слагаемые в числителе:

$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{(-a^2 + 2a^2 + 2a^2) + (2b^2 - b^2 + 2b^2) + (2c^2 + 2c^2 - c^2)}{4}$

Упростим выражение в числителе:

$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3a^2 + 3b^2 + 3c^2}{4}$

Вынесем общий множитель 3 за скобки в числителе:

$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3(a^2 + b^2 + c^2)}{4}$

Это выражение можно записать в виде:

$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2)$

Таким образом, мы показали, что сумма квадратов медиан треугольника ($m_a^2 + m_b^2 + m_c^2$) равна $\frac{3}{4}$ суммы квадратов его сторон ($a^2 + b^2 + c^2$), что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше.

1.92. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $CC_1$. Покажите, что если:

1) $2CC_1 > AB$, то угол $C$ – острый;

2) $2CC_1 = AB$, то угол $C$ – прямой;

3) $2CC_1 < AB$, то угол $C$ – тупой.

Для доказательства всех трех утверждений воспользуемся методом достроения треугольника до параллелограмма и теоремой косинусов. Пусть дан треугольник $ABC$ с медианой $CC_1$.

Продлим медиану $CC_1$ за точку $C_1$ на ее длину до точки $D$ так, что $CC_1 = C_1D$. Четырехугольник $ACBD$ является параллелограммом, так как его диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $C_1$ и делятся ею пополам ($AC_1 = C_1B$ по определению медианы, $CC_1 = C_1D$ по построению).

Воспользуемся свойством параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. Для параллелограмма $ACBD$ это записывается как: $AB^2 + CD^2 = AC^2 + CB^2 + BD^2 + DA^2$. Так как в параллелограмме противолежащие стороны равны ($AC=BD$, $CB=DA$), получаем: $AB^2 + CD^2 = 2(AC^2 + BC^2)$.

Поскольку $CD = 2CC_1$, подставим это в равенство: $AB^2 + (2CC_1)^2 = 2(AC^2 + BC^2)$, откуда $AB^2 + 4CC_1^2 = 2(AC^2 + BC^2)$.

Теперь применим теорему косинусов для треугольника $ABC$ относительно угла $C$: $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2(AC)(BC)\cos(\angle C)$.

Из свойства параллелограмма выразим $AC^2 + BC^2 = \frac{AB^2 + 4CC_1^2}{2}$ и подставим в теорему косинусов:$AB^2 = \frac{AB^2 + 4CC_1^2}{2} - 2(AC)(BC)\cos(\angle C)$.

Выразим отсюда $\cos(\angle C)$:$2(AC)(BC)\cos(\angle C) = \frac{AB^2 + 4CC_1^2}{2} - AB^2 = \frac{AB^2 + 4CC_1^2 - 2AB^2}{2} = \frac{4CC_1^2 - AB^2}{2}$.Отсюда получаем формулу: $\cos(\angle C) = \frac{4CC_1^2 - AB^2}{4(AC)(BC)}$.

Знаменатель $4(AC)(BC)$ в этой формуле всегда положителен, так как длины сторон треугольника положительны. Следовательно, знак $\cos(\angle C)$ полностью определяется знаком числителя $4CC_1^2 - AB^2$. Теперь мы можем рассмотреть каждый из трех случаев.

1) $2CC_1 > AB$

Если $2CC_1 > AB$, то, возводя обе положительные части неравенства в квадрат, получаем $(2CC_1)^2 > AB^2$, что равносильно $4CC_1^2 > AB^2$, или $4CC_1^2 - AB^2 > 0$.

Так как числитель в выведенной формуле положителен, то и $\cos(\angle C) > 0$.

Для угла в треугольнике (от $0^\circ$ до $180^\circ$) положительное значение косинуса означает, что угол является острым ($\angle C < 90^\circ$).

Ответ: Угол C — острый.

2) $2CC_1 = AB$

Если $2CC_1 = AB$, то $(2CC_1)^2 = AB^2$, что равносильно $4CC_1^2 = AB^2$, или $4CC_1^2 - AB^2 = 0$.

В этом случае числитель в формуле для косинуса равен нулю, следовательно, $\cos(\angle C) = 0$.

Для угла в треугольнике это означает, что угол является прямым ($\angle C = 90^\circ$). Это известное свойство: в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Ответ: Угол C — прямой.

3) $2CC_1 < AB$

Если $2CC_1 < AB$, то, возводя обе части в квадрат, получаем $(2CC_1)^2 < AB^2$, что равносильно $4CC_1^2 < AB^2$, или $4CC_1^2 - AB^2 < 0$.

Так как числитель в формуле отрицателен, то и $\cos(\angle C) < 0$.

Для угла в треугольнике отрицательное значение косинуса означает, что угол является тупым ($\angle C > 90^\circ$).

Ответ: Угол C — тупой.

1.93. Покажите, что для любого треугольника ABC верно равенство $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$ если $AB=c, AC=b, BC=a, \angle C=\gamma$. Докажите теорему Пифагора с помощью этого равенства.

Покажите, что для любого треугольника ABC верно равенство $c^2=a^2 + b^2-2ab\cos\gamma$ если $AB=c, AC=b, BC=a, \angle C=\gamma$.

Для доказательства этого равенства, которое является формулировкой теоремы косинусов, мы воспользуемся методом координат. Разместим треугольник $ABC$ в декартовой системе координат так, чтобы одна из его вершин совпала с началом координат, а одна из сторон легла на ось абсцисс.

Пусть вершина $C$ находится в начале координат $(0, 0)$, а сторона $AC$ длиной $b$ расположена вдоль положительного направления оси $Ox$. Тогда координаты вершин будут следующими:
• Вершина $C$ имеет координаты $(0, 0)$.
• Вершина $A$ имеет координаты $(b, 0)$.
• Координаты вершины $B$ определяются длиной стороны $BC=a$ и углом $\angle C = \gamma$. Из определений тригонометрических функций следует, что вершина $B$ имеет координаты $(a\cos\gamma, a\sin\gamma)$.

Теперь найдем квадрат длины стороны $AB$ (обозначенной как $c$) по формуле расстояния между двумя точками $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$: $c^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$.

Подставим координаты точек $A(b, 0)$ и $B(a\cos\gamma, a\sin\gamma)$ в формулу:

$c^2 = (a\cos\gamma - b)^2 + (a\sin\gamma - 0)^2$

Раскроем скобки:

$c^2 = a^2\cos^2\gamma - 2ab\cos\gamma + b^2 + a^2\sin^2\gamma$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $a^2$:

$c^2 = (a^2\cos^2\gamma + a^2\sin^2\gamma) + b^2 - 2ab\cos\gamma$

Вынесем $a^2$ за скобки:

$c^2 = a^2(\cos^2\gamma + \sin^2\gamma) + b^2 - 2ab\cos\gamma$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2\gamma + \sin^2\gamma = 1$, получаем:

$c^2 = a^2(1) + b^2 - 2ab\cos\gamma$

Таким образом, мы приходим к искомому равенству:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$

Равенство доказано для произвольного треугольника, так как данное доказательство не зависит от величины угла $\gamma$ (острый, прямой или тупой).

Ответ: Равенство $c^2=a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ доказано с помощью метода координат.

Докажите теорему Пифагора с помощью этого равенства.

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Мы можем доказать эту теорему, показав, что она является частным случаем теоремы косинусов.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором угол при вершине $C$ является прямым, то есть $\gamma = 90^\circ$. В таком треугольнике стороны $a$ и $b$ (прилежащие к прямому углу) являются катетами, а сторона $c$ (противолежащая прямому углу) — гипотенузой.

Начнем с доказанного выше равенства (теоремы косинусов):

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$

Подставим в эту формулу значение нашего угла $\gamma = 90^\circ$. Значение косинуса прямого угла равно нулю:

$\cos(90^\circ) = 0$

Выполним подстановку в формулу теоремы косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(90^\circ)$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot 0$

$c^2 = a^2 + b^2$

Полученное равенство $c^2 = a^2 + b^2$ в точности совпадает с формулировкой теоремы Пифагора. Таким образом, теорема Пифагора доказана как следствие теоремы косинусов.

Ответ: При подстановке в теорему косинусов $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ значения прямого угла $\gamma = 90^\circ$, для которого $\cos(90^\circ) = 0$, получается равенство $c^2 = a^2 + b^2$, что и является теоремой Пифагора.

1.94. Докажите, что векторы $\vec{p} = \vec{a} (\vec{b} \cdot \vec{q}) - \vec{b} (\vec{a} \cdot \vec{q})$ и $\vec{q}$ перпендикулярны.

1.94. Для того чтобы доказать, что векторы $\vec{p}$ и $\vec{q}$ перпендикулярны, необходимо показать, что их скалярное произведение равно нулю. Два ненулевых вектора называются перпендикулярными (или ортогональными) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0.

Итак, найдем скалярное произведение вектора $\vec{p} = \vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{q}) - \vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{q})$ на вектор $\vec{q}$.

$\vec{p} \cdot \vec{q} = (\vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{q}) - \vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{q})) \cdot \vec{q}$

Воспользуемся свойством дистрибутивности скалярного произведения относительно сложения векторов ($( \vec{x} + \vec{y} ) \cdot \vec{z} = \vec{x} \cdot \vec{z} + \vec{y} \cdot \vec{z}$):

$\vec{p} \cdot \vec{q} = (\vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{q})) \cdot \vec{q} - (\vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{q})) \cdot \vec{q}$

Важно отметить, что выражения в скобках $(\vec{b} \cdot \vec{q})$ и $(\vec{a} \cdot \vec{q})$ являются скалярными величинами (числами), так как они представляют собой результаты скалярного произведения. Обозначим их как $k_1 = (\vec{b} \cdot \vec{q})$ и $k_2 = (\vec{a} \cdot \vec{q})$. Тогда выражение можно переписать как:

$\vec{p} \cdot \vec{q} = (k_1\vec{a}) \cdot \vec{q} - (k_2\vec{b}) \cdot \vec{q}$

Используя свойство ассоциативности скалярного произведения по отношению к умножению на скаляр ($(k\vec{x}) \cdot \vec{y} = k(\vec{x} \cdot \vec{y})$), вынесем скалярные множители $k_1$ и $k_2$:

$\vec{p} \cdot \vec{q} = k_1(\vec{a} \cdot \vec{q}) - k_2(\vec{b} \cdot \vec{q})$

Теперь подставим обратно исходные выражения для $k_1$ и $k_2$:

$\vec{p} \cdot \vec{q} = (\vec{b} \cdot \vec{q})(\vec{a} \cdot \vec{q}) - (\vec{a} \cdot \vec{q})(\vec{b} \cdot \vec{q})$

Поскольку умножение действительных чисел (которыми являются результаты скалярных произведений) коммутативно, то есть $(\vec{b} \cdot \vec{q})(\vec{a} \cdot \vec{q}) = (\vec{a} \cdot \vec{q})(\vec{b} \cdot \vec{q})$, то мы получаем разность двух одинаковых величин:

$\vec{p} \cdot \vec{q} = 0$

Так как скалярное произведение векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$ равно нулю, это доказывает, что они перпендикулярны.

Ответ: Скалярное произведение векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$ равно $\vec{p} \cdot \vec{q} = (\vec{b} \cdot \vec{q})(\vec{a} \cdot \vec{q}) - (\vec{a} \cdot \vec{q})(\vec{b} \cdot \vec{q}) = 0$, следовательно, векторы перпендикулярны, что и требовалось доказать.

1.95. В параллелограмме $ABCD$ на стороне $AD$ взята точка $K$ так, что выполняется равенство $AK = \lambda \cdot AD(0<\lambda<1)$.

Прямая $BK$ пересекает диагональ $AC$ в точке $N$. Найдите отношение $AN : AC$.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По условию, на стороне $AD$ взята точка $K$ так, что выполняется равенство $AK = \lambda \cdot AD$, где $0 < \lambda < 1$. Прямая $BK$ пересекает диагональ $AC$ в точке $N$. Нам необходимо найти отношение $AN : AC$.

Для решения задачи воспользуемся свойством подобных треугольников. Рассмотрим треугольники $\triangle ANK$ и $\triangle CNB$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$). Так как точка $K$ лежит на стороне $AD$, то отрезок $AK$ также параллелен стороне $BC$ ($AK \parallel BC$).

1. Углы $\angle NAK$ и $\angle NCB$ (они же $\angle CAB$ и $\angle BCA$) являются накрест лежащими при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$. Следовательно, $\angle NAK = \angle NCB$.

2. Углы $\angle AKN$ и $\angle CBN$ (они же $\angle AKB$ и $\angle CBK$) являются накрест лежащими при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BK$. Следовательно, $\angle AKN = \angle CBN$.

Таким образом, треугольники $\triangle ANK$ и $\triangle CNB$ подобны по двум углам (признак подобия АА).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:$ \frac{AN}{CN} = \frac{AK}{CB} = \frac{NK}{NB} $

Возьмем первую часть этого соотношения: $ \frac{AN}{CN} = \frac{AK}{CB} $.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны, поэтому $CB = AD$. Подставим это в наше равенство:$ \frac{AN}{CN} = \frac{AK}{AD} $

По условию задачи, $AK = \lambda \cdot AD$, что означает $ \frac{AK}{AD} = \lambda $.Следовательно, мы получаем:$ \frac{AN}{CN} = \lambda $

Нам нужно найти отношение $AN : AC$. Точка $N$ лежит на диагонали $AC$, поэтому длина отрезка $AC$ равна сумме длин отрезков $AN$ и $CN$: $AC = AN + CN$. Отсюда можно выразить $CN = AC - AN$.

Подставим это выражение для $CN$ в полученное ранее равенство:$ \frac{AN}{AC - AN} = \lambda $

Теперь решим это уравнение, чтобы выразить отношение $\frac{AN}{AC}$:$ AN = \lambda(AC - AN) $
$ AN = \lambda \cdot AC - \lambda \cdot AN $
$ AN + \lambda \cdot AN = \lambda \cdot AC $
$ AN(1 + \lambda) = \lambda \cdot AC $

Разделив обе части уравнения на $AC$ и на $(1 + \lambda)$, получим искомое отношение:$ \frac{AN}{AC} = \frac{\lambda}{1 + \lambda} $

Это означает, что отношение $AN : AC$ равно $\lambda : (1 + \lambda)$.

Ответ: Отношение $AN : AC$ равно $\frac{\lambda}{1 + \lambda}$.