Страница 50 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.104. Определите числа $m$ и $n$, если $ \vec{a} = (5; m) $, $ \vec{b} = (n; 24) $, $ |\vec{a}|=13 $ и $ |\vec{b}|=25 $.

Для определения чисел m и n воспользуемся формулой для вычисления модуля (длины) вектора. Модуль вектора с координатами $(x; y)$ равен $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Нахождение m
Нам дан вектор $\vec{a} = (5; m)$ и его модуль $|\vec{a}| = 13$.
Подставим эти значения в формулу модуля вектора:
$|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + m^2}$
$13 = \sqrt{25 + m^2}$
Чтобы найти m, возведем обе части уравнения в квадрат:
$13^2 = 25 + m^2$
$169 = 25 + m^2$
Теперь найдем $m^2$:
$m^2 = 169 - 25$
$m^2 = 144$
Извлекая квадратный корень, получаем два возможных значения для m:
$m = \pm \sqrt{144}$
$m = \pm 12$
Ответ: $m = \pm 12$.

Нахождение n
Нам дан вектор $\vec{b} = (n; 24)$ и его модуль $|\vec{b}| = 25$.
Действуем аналогично:
$|\vec{b}| = \sqrt{n^2 + 24^2}$
$25 = \sqrt{n^2 + 576}$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$25^2 = n^2 + 576$
$625 = n^2 + 576$
Теперь найдем $n^2$:
$n^2 = 625 - 576$
$n^2 = 49$
Извлекая квадратный корень, получаем два возможных значения для n:
$n = \pm \sqrt{49}$
$n = \pm 7$
Ответ: $n = \pm 7$.

1.105. Дан вектор $\vec{a}=(-2; 1)$. Найдите координаты вектора, который сонаправлен с вектором $\vec{a}$ и модуль которого:

1) в 2 раза больше;

2) в 2 раза меньше числа $\left|\vec{a}\right|.$

Дан вектор $\vec{a}=(-2; 1)$.

Пусть искомый вектор $\vec{b}$ сонаправлен с вектором $\vec{a}$. Это означает, что существует такое положительное число $k$ ($k>0$), что $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$.

Координаты вектора $\vec{b}$ в общем виде будут равны $\vec{b} = (k \cdot (-2); k \cdot 1) = (-2k; k)$.

Найдем модуль (длину) данного вектора $\vec{a}$ по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$:

$|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

Теперь рассмотрим каждый случай.

1) Найдем координаты вектора, который сонаправлен с $\vec{a}$ и модуль которого в 2 раза больше. Предполагается, что его модуль в 2 раза больше модуля вектора $\vec{a}$.

Пусть это будет вектор $\vec{b_1}$. По условию, $|\vec{b_1}| = 2|\vec{a}|$.

Так как $\vec{b_1}$ сонаправлен с $\vec{a}$, то $\vec{b_1} = k \cdot \vec{a}$ для некоторого $k>0$.

Модуль вектора $\vec{b_1}$ равен $|\vec{b_1}| = |k \cdot \vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$. Поскольку $k>0$, то $|k|=k$.

Приравниваем выражения для модуля: $k|\vec{a}| = 2|\vec{a}|$.

Так как $|\vec{a}| = \sqrt{5} \neq 0$, мы можем сократить на $|\vec{a}|$, получив $k=2$.

Теперь находим координаты вектора $\vec{b_1}$:

$\vec{b_1} = 2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot (-2; 1) = (2 \cdot (-2); 2 \cdot 1) = (-4; 2)$.

Ответ: $(-4; 2)$.

2) Найдем координаты вектора, который сонаправлен с $\vec{a}$ и модуль которого в 2 раза меньше числа $|\vec{a}|$.

Пусть это будет вектор $\vec{b_2}$. По условию, $|\vec{b_2}| = \frac{1}{2}|\vec{a}|$.

Так как $\vec{b_2}$ сонаправлен с $\vec{a}$, то $\vec{b_2} = m \cdot \vec{a}$ для некоторого $m>0$.

Его модуль $|\vec{b_2}| = |m \cdot \vec{a}| = |m| \cdot |\vec{a}| = m|\vec{a}|$.

Приравниваем выражения для модуля: $m|\vec{a}| = \frac{1}{2}|\vec{a}|$.

Сокращая на $|\vec{a}|$, получаем $m=\frac{1}{2}$.

Теперь находим координаты вектора $\vec{b_2}$:

$\vec{b_2} = \frac{1}{2} \cdot \vec{a} = \frac{1}{2} \cdot (-2; 1) = (\frac{1}{2} \cdot (-2); \frac{1}{2} \cdot 1) = (-1; \frac{1}{2})$.

Ответ: $(-1; \frac{1}{2})$.

1.106. Даны точки A(1; 1), B(3; -1), C(7; 3). Найдите координаты и модуль вектора:

1) $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{BC}$;

2) $\vec{AB} + 2\vec{BC}$;

3) $3\vec{AB} - 2\vec{AC}$;

4) $\vec{AB} + 2\vec{BC} - 3\vec{AC}$.

Даны точки A(1; 1), B(3; -1), C(7; 3). Для решения задачи сначала найдем координаты базовых векторов $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$.

Координаты вектора, заданного двумя точками $P(x_1; y_1)$ и $Q(x_2; y_2)$, вычисляются по формуле $\vec{PQ} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

$\vec{AB} = (3 - 1; -1 - 1) = (2; -2)$

$\vec{AC} = (7 - 1; 3 - 1) = (6; 2)$

$\vec{BC} = (7 - 3; 3 - (-1)) = (4; 4)$

Модуль (длина) вектора $\vec{a} = (x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

1) $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{BC}$

Координаты векторов были найдены выше. Теперь найдем их модули.

Модуль вектора $\vec{AB}=(2; -2)$: $|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Модуль вектора $\vec{AC}=(6; 2)$: $|\vec{AC}| = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36+4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.

Модуль вектора $\vec{BC}=(4; 4)$: $|\vec{BC}| = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

Ответ: $\vec{AB}=(2; -2), |\vec{AB}|=2\sqrt{2}$; $\vec{AC}=(6; 2), |\vec{AC}|=2\sqrt{10}$; $\vec{BC}=(4; 4), |\vec{BC}|=4\sqrt{2}$.

2) $\vec{AB} + 2\vec{BC}$

Сначала найдем координаты результирующего вектора, выполнив операции над координатами исходных векторов.

$\vec{AB} + 2\vec{BC} = (2; -2) + 2 \cdot (4; 4) = (2; -2) + (8; 8) = (2+8; -2+8) = (10; 6)$.

Теперь найдем модуль полученного вектора $(10; 6)$.

$|\vec{AB} + 2\vec{BC}| = \sqrt{10^2 + 6^2} = \sqrt{100+36} = \sqrt{136} = \sqrt{4 \cdot 34} = 2\sqrt{34}$.

Ответ: Координаты $(10; 6)$, модуль $2\sqrt{34}$.

3) $3\vec{AB} - 2\vec{AC}$

Найдем координаты результирующего вектора.

$3\vec{AB} - 2\vec{AC} = 3 \cdot (2; -2) - 2 \cdot (6; 2) = (6; -6) - (12; 4) = (6-12; -6-4) = (-6; -10)$.

Найдем модуль полученного вектора $(-6; -10)$.

$|3\vec{AB} - 2\vec{AC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-10)^2} = \sqrt{36+100} = \sqrt{136} = \sqrt{4 \cdot 34} = 2\sqrt{34}$.

Ответ: Координаты $(-6; -10)$, модуль $2\sqrt{34}$.

4) $\vec{AB} + 2\vec{BC} - 3\vec{AC}$

Найдем координаты результирующего вектора.

$\vec{AB} + 2\vec{BC} - 3\vec{AC} = (2; -2) + 2 \cdot (4; 4) - 3 \cdot (6; 2) = (2; -2) + (8; 8) - (18; 6) = (2+8-18; -2+8-6) = (-8; 0)$.

Найдем модуль полученного вектора $(-8; 0)$.

$|\vec{AB} + 2\vec{BC} - 3\vec{AC}| = \sqrt{(-8)^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8$.

Ответ: Координаты $(-8; 0)$, модуль $8$.

1.107. Единичный вектор $\vec{a}$ образует угол $\alpha$ с положительным направлением оси $Ox$. Докажите, что $\vec{a}=(\cos\alpha; \sin\alpha)$ есть координаты этого вектора.

Пусть в прямоугольной системе координат $Oxy$ единичный вектор $\vec{a}$ отложен от начала координат, точки $O(0; 0)$. Тогда его конечная точка, назовем ее $A$, будет иметь координаты $(x; y)$, и, соответственно, вектор $\vec{a}$ будет иметь координаты $\vec{a}=(x; y)$.

По условию, вектор $\vec{a}$ является единичным. Это означает, что его длина (модуль) равна 1. Длина вектора $\vec{a}=(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Следовательно, мы имеем равенство $\sqrt{x^2 + y^2} = 1$.

Также по условию, вектор $\vec{a}$ образует угол $\alpha$ с положительным направлением оси $Ox$.

Рассмотрим положение вектора на координатной плоскости. Опустим из точки $A(x; y)$ перпендикуляр на ось $Ox$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $P$. Мы получим прямоугольный треугольник $\triangle OPA$, в котором:

• гипотенуза $OA$ — это длина вектора $\vec{a}$, то есть $OA = |\vec{a}| = 1$;
• катет $OP$ — это проекция вектора на ось $Ox$, его длина равна $|x|$;
• катет $PA$ — это проекция вектора на ось $Oy$, его длина равна $|y|$;
• угол $\angle POA$ — это угол $\alpha$ между вектором и положительным направлением оси $Ox$.

Согласно определениям тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике (которые обобщаются на всю числовую окружность, что делает доказательство верным для любого угла $\alpha$):

Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. В нашем случае координата $x$ является длиной прилежащего катета (с учетом знака в зависимости от четверти).

$ \cos \alpha = \frac{OP}{OA} = \frac{x}{|\vec{a}|} = \frac{x}{1} = x $

Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. В нашем случае координата $y$ является длиной противолежащего катета (с учетом знака).

$ \sin \alpha = \frac{PA}{OA} = \frac{y}{|\vec{a}|} = \frac{y}{1} = y $

Таким образом, мы установили, что координата $x$ вектора $\vec{a}$ равна $\cos \alpha$, а координата $y$ равна $\sin \alpha$.

Следовательно, координаты единичного вектора $\vec{a}$ есть $(\cos \alpha; \sin \alpha)$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Исходя из определения тригонометрических функций для точки на единичной окружности, ее координаты $(x, y)$ напрямую соответствуют значениям $(\cos\alpha, \sin\alpha)$, где $\alpha$ — угол, образованный радиус-вектором точки с положительным направлением оси $Ox$. Так как единичный вектор, отложенный от начала координат, является радиус-вектором точки на единичной окружности, его координаты равны $(\cos\alpha; \sin\alpha)$.

1.108. Найдите координаты единичного вектора, который с положительным направлением оси $Ox$ образует угол: $0^{\circ}$; $30^{\circ}$; $45^{\circ}$; $60^{\circ}$; $120^{\circ}$; $135^{\circ}$; $150^{\circ}$; $180^{\circ}$.

Пусть $\vec{e}$ — единичный вектор, образующий угол $\alpha$ с положительным направлением оси $Ox$. Координаты такого вектора $(x, y)$ в общем случае находятся по формулам: $x = |\vec{e}| \cos \alpha$ и $y = |\vec{e}| \sin \alpha$.

Поскольку по условию задачи вектор является единичным, его длина (модуль) $|\vec{e}| = 1$. Следовательно, его координаты можно найти по упрощенным формулам: $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$.

Рассчитаем координаты для каждого из заданных углов.

0°

При $\alpha = 0°$ координаты единичного вектора равны:
$x = \cos(0°) = 1$
$y = \sin(0°) = 0$

Ответ: $(1, 0)$.

30°

При $\alpha = 30°$ координаты единичного вектора равны:
$x = \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$y = \sin(30°) = \frac{1}{2}$

Ответ: $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

45°

При $\alpha = 45°$ координаты единичного вектора равны:
$x = \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

60°

При $\alpha = 60°$ координаты единичного вектора равны:
$x = \cos(60°) = \frac{1}{2}$
$y = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

120°

При $\alpha = 120°$ координаты единичного вектора равны:
$x = \cos(120°) = \cos(180° - 60°) = -\cos(60°) = -\frac{1}{2}$
$y = \sin(120°) = \sin(180° - 60°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

135°

При $\alpha = 135°$ координаты единичного вектора равны:
$x = \cos(135°) = \cos(180° - 45°) = -\cos(45°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(135°) = \sin(180° - 45°) = \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

150°

При $\alpha = 150°$ координаты единичного вектора равны:
$x = \cos(150°) = \cos(180° - 30°) = -\cos(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$y = \sin(150°) = \sin(180° - 30°) = \sin(30°) = \frac{1}{2}$

Ответ: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

180°

При $\alpha = 180°$ координаты единичного вектора равны:
$x = \cos(180°) = -1$
$y = \sin(180°) = 0$

Ответ: $(-1, 0)$.

1.109. Даны точки $A(1; -3)$, $B(8; 0)$, $C(4; 8)$, $D(-3; 5)$.

Покажите, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD с заданными координатами вершин A(1; -3), B(8; 0), C(4; 8), D(-3; 5) является параллелограммом, можно использовать различные свойства параллелограмма. Рассмотрим два метода доказательства.

Способ 1: Использование векторов

Четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда вектор, соответствующий одной его стороне, равен вектору, соответствующему противолежащей стороне. Проверим, выполняется ли равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Координаты вектора с началом в точке $(x_1, y_1)$ и концом в точке $(x_2, y_2)$ находятся по формуле $(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (8 - 1; 0 - (-3)) = (7; 3)$

Найдем координаты вектора $\vec{DC}$:

$\vec{DC} = (4 - (-3); 8 - 5) = (4 + 3; 3) = (7; 3)$

Поскольку координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ совпадают, векторы равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$. Равенство векторов означает, что отрезки AB и DC параллельны и равны по длине. Это является достаточным признаком параллелограмма.

Ответ: Так как $\vec{AB} = \vec{DC}$, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Способ 2: Использование середин диагоналей

Четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что середины диагоналей AC и BD должны совпадать.

Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ находятся по формулам $x_c = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y_c = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

Найдем координаты середины диагонали AC, обозначим ее M:

$x_M = \frac{1 + 4}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$

$y_M = \frac{-3 + 8}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$

Таким образом, точка M имеет координаты $(2.5; 2.5)$.

Найдем координаты середины диагонали BD, обозначим ее N:

$x_N = \frac{8 + (-3)}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$

$y_N = \frac{0 + 5}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$

Таким образом, точка N имеет координаты $(2.5; 2.5)$.

Координаты середин диагоналей AC и BD совпадают (M = N), следовательно, диагонали пересекаются в своей середине. Это доказывает, что ABCD — параллелограмм.

Ответ: Так как середины диагоналей AC и BD совпадают, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

1.110 Даны точки A(-1; 3), B(2; -4), C(-3; -1) и D(5; 2).

Определите координаты векторов:

1) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$;

2) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB}$;

3) $2\overrightarrow{AC} - 3\overrightarrow{BD}$;

4) $\frac{1}{3}\overrightarrow{CD} + \frac{3}{2}\overrightarrow{BA}$.

Для решения задачи нам даны координаты четырех точек: $A(-1; 3)$, $B(2; -4)$, $C(-3; -1)$ и $D(5; 2)$.

Координаты вектора, заданного двумя точками $P_1(x_1; y_1)$ и $P_2(x_2; y_2)$, вычисляются по формуле: $\vec{P_1P_2} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

1) $\vec{AB} + \vec{BC}$

Согласно правилу треугольника для сложения векторов, сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равна вектору $\vec{AC}$. Найдем координаты вектора $\vec{AC}$.

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (-3 - (-1); -1 - 3) = (-3 + 1; -4) = (-2; -4)$.

Ответ: $(-2; -4)$.

2) $\vec{AB} - \vec{CB}$

Вычитание вектора $\vec{CB}$ эквивалентно прибавлению противоположного ему вектора $\vec{BC}$, так как $-\vec{CB} = \vec{BC}$.

Таким образом, выражение можно переписать: $\vec{AB} - \vec{CB} = \vec{AB} + \vec{BC}$.

Это выражение совпадает с заданием из пункта 1, следовательно, результат будет таким же.

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} = (-2; -4)$.

Ответ: $(-2; -4)$.

3) $2\vec{AC} - 3\vec{BD}$

Сначала найдем координаты векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$.

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (-3 - (-1); -1 - 3) = (-2; -4)$.

$\vec{BD} = (x_D - x_B; y_D - y_B) = (5 - 2; 2 - (-4)) = (3; 2 + 4) = (3; 6)$.

Теперь умножим каждый вектор на соответствующий скаляр.

$2\vec{AC} = 2 \cdot (-2; -4) = (-4; -8)$.

$3\vec{BD} = 3 \cdot (3; 6) = (9; 18)$.

Наконец, вычтем координаты второго вектора из координат первого.

$2\vec{AC} - 3\vec{BD} = (-4 - 9; -8 - 18) = (-13; -26)$.

Ответ: $(-13; -26)$.

4) $\frac{1}{3}\vec{CD} + \frac{3}{2}\vec{BA}$

Найдем координаты векторов $\vec{CD}$ и $\vec{BA}$.

$\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C) = (5 - (-3); 2 - (-1)) = (5 + 3; 2 + 1) = (8; 3)$.

$\vec{BA} = (x_A - x_B; y_A - y_B) = (-1 - 2; 3 - (-4)) = (-3; 3 + 4) = (-3; 7)$.

Умножим векторы на скаляры.

$\frac{1}{3}\vec{CD} = \frac{1}{3} \cdot (8; 3) = (\frac{8}{3}; \frac{3}{3}) = (\frac{8}{3}; 1)$.

$\frac{3}{2}\vec{BA} = \frac{3}{2} \cdot (-3; 7) = (-\frac{9}{2}; \frac{21}{2})$.

Сложим полученные векторы.

$\frac{1}{3}\vec{CD} + \frac{3}{2}\vec{BA} = (\frac{8}{3} - \frac{9}{2}; 1 + \frac{21}{2}) = (\frac{16}{6} - \frac{27}{6}; \frac{2}{2} + \frac{21}{2}) = (-\frac{11}{6}; \frac{23}{2})$.

Ответ: $(-\frac{11}{6}; \frac{23}{2})$.

1.111. Даны точки $A(0; 0)$, $B(1; 1)$, $C(0; 2)$ и $D(-1; 1)$. Покажите, что четырехугольник ABCD является квадратом.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник $ABCD$ является квадратом, необходимо показать, что выполняются два условия:
1. Все его стороны равны между собой.
2. Его диагонали равны между собой.

Используем формулу для нахождения расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Нанесем точки на координатную плоскость для наглядности:

1. Найдем длины сторон четырехугольника $ABCD$.

Длина стороны $AB$ (между точками $A(0; 0)$ и $B(1; 1)$):
$|AB| = \sqrt{(1 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Длина стороны $BC$ (между точками $B(1; 1)$ и $C(0; 2)$):
$|BC| = \sqrt{(0 - 1)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Длина стороны $CD$ (между точками $C(0; 2)$ и $D(-1; 1)$):
$|CD| = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Длина стороны $DA$ (между точками $D(-1; 1)$ и $A(0; 0)$):
$|DA| = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Так как $|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = \sqrt{2}$, все стороны четырехугольника равны. Это означает, что $ABCD$ является ромбом.

2. Найдем длины диагоналей четырехугольника $ABCD$.

Длина диагонали $AC$ (между точками $A(0; 0)$ и $C(0; 2)$):
$|AC| = \sqrt{(0 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$.

Длина диагонали $BD$ (между точками $B(1; 1)$ и $D(-1; 1)$):
$|BD| = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.

Так как $|AC| = |BD| = 2$, диагонали четырехугольника равны.

Вывод
Поскольку все стороны четырехугольника $ABCD$ равны и его диагонали также равны, мы можем заключить, что $ABCD$ является квадратом.

Ответ:
Длины всех сторон четырехугольника $ABCD$ равны $\sqrt{2}$, а длины обеих диагоналей равны $2$. Ромб с равными диагоналями является квадратом, следовательно, четырехугольник $ABCD$ — квадрат. Что и требовалось доказать.

1.112. Даны точки $A(1; 1)$, $B(2; 3)$, $C(0; 4)$, $D(-1; 2)$. Покажите, что четырехугольник $ABCD$ является квадратом.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является квадратом, необходимо установить два факта: 1) все его стороны равны; 2) его диагонали равны. Квадрат — это ромб (четырехугольник с равными сторонами), у которого равны диагонали.

Найдем длины сторон четырехугольника, используя формулу расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

1. Вычисление длин сторон:

Длина стороны AB, соединяющей точки A(1; 1) и B(2; 3):
$AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Длина стороны BC, соединяющей точки B(2; 3) и C(0; 4):
$BC = \sqrt{(0 - 2)^2 + (4 - 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

Длина стороны CD, соединяющей точки C(0; 4) и D(-1; 2):
$CD = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Длина стороны DA, соединяющей точки D(-1; 2) и A(1; 1):
$DA = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

Так как $AB = BC = CD = DA = \sqrt{5}$, все стороны четырехугольника равны. Следовательно, ABCD является ромбом.

2. Вычисление длин диагоналей:

Длина диагонали AC, соединяющей точки A(1; 1) и C(0; 4):
$AC = \sqrt{(0 - 1)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.

Длина диагонали BD, соединяющей точки B(2; 3) и D(-1; 2):
$BD = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.

Так как $AC = BD = \sqrt{10}$, диагонали четырехугольника равны.

Поскольку ABCD — это ромб (все стороны равны), у которого диагонали равны, по определению он является квадратом.

Ответ: Мы показали, что все стороны четырехугольника ABCD равны $\sqrt{5}$, а его диагонали равны $\sqrt{10}$. Следовательно, четырехугольник ABCD является квадратом, что и требовалось доказать.

1.113. Найдите координаты единичного вектора:

1) сонаправленного с вектором $\vec{a}=(6; 8);$

2) противоположно направленного вектору $\vec{b}=(-2; 5).$

Единичный вектор — это вектор, длина (модуль) которого равна единице. Чтобы найти единичный вектор, сонаправленный с данным вектором, нужно разделить координаты исходного вектора на его модуль. Чтобы найти единичный вектор, противоположно направленный, нужно сделать то же самое и умножить результат на -1 (то есть изменить знаки координат на противоположные).

1) сонаправленного с вектором $\vec{a}=(6; 8)$

Сначала найдем модуль (длину) вектора $\vec{a}$. Модуль вектора с координатами $(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Для вектора $\vec{a}=(6; 8)$ его модуль равен:

$|\vec{a}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Теперь, чтобы найти координаты единичного вектора $\vec{e_a}$, сонаправленного с вектором $\vec{a}$, разделим каждую координату вектора $\vec{a}$ на его модуль:

$\vec{e_a} = \left(\frac{6}{10}; \frac{8}{10}\right) = \left(\frac{3}{5}; \frac{4}{5}\right)$.

Эти координаты также можно представить в виде десятичных дробей: $(0,6; 0,8)$.

Ответ: $(\frac{3}{5}; \frac{4}{5})$.

2) противоположно направленного вектору $\vec{b}=(-2; 5)$

Сначала найдем модуль вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$.

Единичный вектор, сонаправленный с $\vec{b}$, имеет координаты $\left(\frac{-2}{\sqrt{29}}; \frac{5}{\sqrt{29}}\right)$.

Чтобы найти вектор, противоположно направленный, нужно изменить знаки всех его координат на противоположные. Обозначим искомый вектор как $\vec{e_b}$.

$\vec{e_b} = -1 \cdot \left(\frac{-2}{\sqrt{29}}; \frac{5}{\sqrt{29}}\right) = \left(\frac{2}{\sqrt{29}}; -\frac{5}{\sqrt{29}}\right)$.

Иногда требуется избавиться от иррациональности в знаменателе. В этом случае ответ будет выглядеть так:

$\vec{e_b} = \left(\frac{2\sqrt{29}}{29}; -\frac{5\sqrt{29}}{29}\right)$.

Ответ: $(\frac{2}{\sqrt{29}}; -\frac{5}{\sqrt{29}})$.