Номер 1.105, страница 50 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.105. Дан вектор $\vec{a}=(-2; 1)$. Найдите координаты вектора, который сонаправлен с вектором $\vec{a}$ и модуль которого:

1) в 2 раза больше;

2) в 2 раза меньше числа $\left|\vec{a}\right|.$

Дан вектор $\vec{a}=(-2; 1)$.

Пусть искомый вектор $\vec{b}$ сонаправлен с вектором $\vec{a}$. Это означает, что существует такое положительное число $k$ ($k>0$), что $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$.

Координаты вектора $\vec{b}$ в общем виде будут равны $\vec{b} = (k \cdot (-2); k \cdot 1) = (-2k; k)$.

Найдем модуль (длину) данного вектора $\vec{a}$ по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$:

$|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

Теперь рассмотрим каждый случай.

1) Найдем координаты вектора, который сонаправлен с $\vec{a}$ и модуль которого в 2 раза больше. Предполагается, что его модуль в 2 раза больше модуля вектора $\vec{a}$.

Пусть это будет вектор $\vec{b_1}$. По условию, $|\vec{b_1}| = 2|\vec{a}|$.

Так как $\vec{b_1}$ сонаправлен с $\vec{a}$, то $\vec{b_1} = k \cdot \vec{a}$ для некоторого $k>0$.

Модуль вектора $\vec{b_1}$ равен $|\vec{b_1}| = |k \cdot \vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$. Поскольку $k>0$, то $|k|=k$.

Приравниваем выражения для модуля: $k|\vec{a}| = 2|\vec{a}|$.

Так как $|\vec{a}| = \sqrt{5} \neq 0$, мы можем сократить на $|\vec{a}|$, получив $k=2$.

Теперь находим координаты вектора $\vec{b_1}$:

$\vec{b_1} = 2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot (-2; 1) = (2 \cdot (-2); 2 \cdot 1) = (-4; 2)$.

Ответ: $(-4; 2)$.

2) Найдем координаты вектора, который сонаправлен с $\vec{a}$ и модуль которого в 2 раза меньше числа $|\vec{a}|$.

Пусть это будет вектор $\vec{b_2}$. По условию, $|\vec{b_2}| = \frac{1}{2}|\vec{a}|$.

Так как $\vec{b_2}$ сонаправлен с $\vec{a}$, то $\vec{b_2} = m \cdot \vec{a}$ для некоторого $m>0$.

Его модуль $|\vec{b_2}| = |m \cdot \vec{a}| = |m| \cdot |\vec{a}| = m|\vec{a}|$.

Приравниваем выражения для модуля: $m|\vec{a}| = \frac{1}{2}|\vec{a}|$.

Сокращая на $|\vec{a}|$, получаем $m=\frac{1}{2}$.

Теперь находим координаты вектора $\vec{b_2}$:

$\vec{b_2} = \frac{1}{2} \cdot \vec{a} = \frac{1}{2} \cdot (-2; 1) = (\frac{1}{2} \cdot (-2); \frac{1}{2} \cdot 1) = (-1; \frac{1}{2})$.

Ответ: $(-1; \frac{1}{2})$.