Номер 1.112, страница 50 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.112. Даны точки $A(1; 1)$, $B(2; 3)$, $C(0; 4)$, $D(-1; 2)$. Покажите, что четырехугольник $ABCD$ является квадратом.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является квадратом, необходимо установить два факта: 1) все его стороны равны; 2) его диагонали равны. Квадрат — это ромб (четырехугольник с равными сторонами), у которого равны диагонали.

Найдем длины сторон четырехугольника, используя формулу расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

1. Вычисление длин сторон:

Длина стороны AB, соединяющей точки A(1; 1) и B(2; 3):
$AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Длина стороны BC, соединяющей точки B(2; 3) и C(0; 4):
$BC = \sqrt{(0 - 2)^2 + (4 - 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

Длина стороны CD, соединяющей точки C(0; 4) и D(-1; 2):
$CD = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Длина стороны DA, соединяющей точки D(-1; 2) и A(1; 1):
$DA = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

Так как $AB = BC = CD = DA = \sqrt{5}$, все стороны четырехугольника равны. Следовательно, ABCD является ромбом.

2. Вычисление длин диагоналей:

Длина диагонали AC, соединяющей точки A(1; 1) и C(0; 4):
$AC = \sqrt{(0 - 1)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.

Длина диагонали BD, соединяющей точки B(2; 3) и D(-1; 2):
$BD = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.

Так как $AC = BD = \sqrt{10}$, диагонали четырехугольника равны.

Поскольку ABCD — это ромб (все стороны равны), у которого диагонали равны, по определению он является квадратом.

Ответ: Мы показали, что все стороны четырехугольника ABCD равны $\sqrt{5}$, а его диагонали равны $\sqrt{10}$. Следовательно, четырехугольник ABCD является квадратом, что и требовалось доказать.