Номер 1.114, страница 51 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.114. Даны последовательные вершины параллелограмма: $A(-1; 3)$, $B(2; -5)$, $C(0; 4)$. Найдите координаты вершины $D$.

Пусть координаты искомой вершины $D$ будут $(x_D, y_D)$. Поскольку в условии даны последовательные вершины параллелограмма $A, B, C$, то четвертая вершина $D$ образует параллелограмм $ABCD$.

Одним из основных свойств параллелограмма является равенство векторов, соответствующих его противоположным сторонам. Для параллелограмма $ABCD$ это означает, что вектор $\vec{AD}$ равен вектору $\vec{BC}$ (а также $\vec{AB} = \vec{DC}$). Воспользуемся равенством $\vec{AD} = \vec{BC}$.

Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала.

Найдем координаты вектора $\vec{BC}$, зная координаты точек $B(2; -5)$ и $C(0; 4)$:
$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (0 - 2; 4 - (-5)) = (-2; 9)$.

Теперь выразим координаты вектора $\vec{AD}$ через неизвестные координаты точки $D(x_D, y_D)$, зная координаты точки $A(-1; 3)$:
$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A) = (x_D - (-1); y_D - 3) = (x_D + 1; y_D - 3)$.

Приравнивая координаты равных векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$, получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} x_D + 1 = -2 \\ y_D - 3 = 9 \end{cases} $

Решаем эту систему:
Из первого уравнения: $x_D = -2 - 1 = -3$.
Из второго уравнения: $y_D = 9 + 3 = 12$.

Следовательно, координаты вершины $D$ равны $(-3; 12)$.

Проверка: Можно также использовать свойство диагоналей параллелограмма, которые пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Середина диагонали $AC$ должна совпадать с серединой диагонали $BD$.
Середина $AC$: $(\frac{-1+0}{2}; \frac{3+4}{2}) = (-0.5; 3.5)$.
Середина $BD$: $(\frac{2+x_D}{2}; \frac{-5+y_D}{2})$.
$\frac{2+x_D}{2} = -0.5 \implies 2+x_D = -1 \implies x_D = -3$.
$\frac{-5+y_D}{2} = 3.5 \implies -5+y_D = 7 \implies y_D = 12$.
Результаты совпадают.

Ответ: $D(-3; 12)$.