Номер 1.119, страница 51 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.119. Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, то векторы:

1) $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$;

2) $2 \vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ также не коллинеарны.

Докажите это.

1)

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что векторы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны.

Если векторы коллинеарны, то по определению существует такое действительное число $k$, что выполняется равенство $\vec{c} = k\vec{d}$.

Подставим в это равенство выражения для векторов $\vec{c}$ и $\vec{d}$:
$\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - \vec{b})$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, сгруппировав слагаемые с векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} - k\vec{b}$
$\vec{a} - k\vec{a} + \vec{b} + k\vec{b} = \vec{0}$
$(1 - k)\vec{a} + (1 + k)\vec{b} = \vec{0}$

По условию задачи, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны. Это означает, что они являются линейно независимыми. Линейная комбинация двух линейно независимых векторов равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда все коэффициенты этой комбинации равны нулю.

Следовательно, должны одновременно выполняться два условия:
$1 - k = 0$
$1 + k = 0$

Решая эту систему уравнений, из первого уравнения получаем $k = 1$, а из второго $k = -1$.

Мы получили противоречие: $1 = -1$, что невозможно. Это означает, что наше исходное предположение о коллинеарности векторов $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ было неверным.

Ответ: Что и требовалось доказать: векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ не коллинеарны.

2)

Аналогично первому пункту, воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что векторы $\vec{p} = 2\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{q} = \vec{a} + \vec{b}$ коллинеарны.

Тогда существует такое число $m$, что $\vec{p} = m\vec{q}$.

Подставим выражения для векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$:
$2\vec{a} + \vec{b} = m(\vec{a} + \vec{b})$

Преобразуем уравнение:
$2\vec{a} + \vec{b} = m\vec{a} + m\vec{b}$
$2\vec{a} - m\vec{a} + \vec{b} - m\vec{b} = \vec{0}$
$(2 - m)\vec{a} + (1 - m)\vec{b} = \vec{0}$

Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по условию не коллинеарны (линейно независимы), равенство нулю их линейной комбинации возможно только при нулевых коэффициентах.

Таким образом, получаем систему уравнений:
$2 - m = 0$
$1 - m = 0$

Из первого уравнения следует, что $m = 2$, а из второго — что $m = 1$.

Мы снова пришли к противоречию: $2 = 1$, что является ложным утверждением. Следовательно, наше предположение о коллинеарности векторов $2\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ неверно.

Ответ: Что и требовалось доказать: векторы $2\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ не коллинеарны.