Номер 1.124, страница 51 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.124. Покажите, что не найдутся две точки с целочисленными координатами, которые равноудалены от точки $A(\sqrt{2}-1; \frac{1}{3}).$

Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что существуют две различные точки с целочисленными координатами, $B(x_1, y_1)$ и $C(x_2, y_2)$, которые равноудалены от точки $A(\sqrt{2}-1; \frac{1}{3})$. В данном предположении $x_1, y_1, x_2, y_2$ являются целыми числами, и как минимум одна из координат точки $B$ отличается от соответствующей координаты точки $C$.

Условие равноудаленности точек $B$ и $C$ от точки $A$ означает, что длина отрезка $AB$ равна длине отрезка $AC$. Это эквивалентно равенству квадратов их длин: $AB^2 = AC^2$.

Выразим квадраты расстояний через координаты точек:

$AB^2 = (x_1 - (\sqrt{2}-1))^2 + (y_1 - \frac{1}{3})^2$

$AC^2 = (x_2 - (\sqrt{2}-1))^2 + (y_2 - \frac{1}{3})^2$

Приравняем эти два выражения:

$(x_1 - (\sqrt{2}-1))^2 + (y_1 - \frac{1}{3})^2 = (x_2 - (\sqrt{2}-1))^2 + (y_2 - \frac{1}{3})^2$

Раскроем скобки в уравнении:

$x_1^2 - 2x_1(\sqrt{2}-1) + (\sqrt{2}-1)^2 + y_1^2 - 2y_1\frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 = x_2^2 - 2x_2(\sqrt{2}-1) + (\sqrt{2}-1)^2 + y_2^2 - 2y_2\frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2$

Сократим одинаковые члены $((\sqrt{2}-1)^2$ и $(\frac{1}{3})^2)$ в обеих частях:

$x_1^2 - 2x_1(\sqrt{2}-1) + y_1^2 - \frac{2}{3}y_1 = x_2^2 - 2x_2(\sqrt{2}-1) + y_2^2 - \frac{2}{3}y_2$

Перегруппируем члены, чтобы выделить иррациональную часть с $\sqrt{2}$:

$(x_1^2 - x_2^2) + (y_1^2 - y_2^2) + 2(x_1-x_2) - \frac{2}{3}(y_1 - y_2) = 2(x_1-x_2)\sqrt{2}$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 3:

$3(x_1^2 - x_2^2) + 3(y_1^2 - y_2^2) + 6(x_1-x_2) - 2(y_1 - y_2) = 6(x_1-x_2)\sqrt{2}$

Левая часть этого уравнения является целым числом, так как $x_1, y_1, x_2, y_2$ — целые числа. Обозначим это целое число через $L$. Правая часть уравнения имеет вид $R = 6k\sqrt{2}$, где $k = x_1 - x_2$ — также целое число. Число $\sqrt{2}$ иррационально. Равенство $L = R$ возможно только в том случае, если обе части равны нулю, поскольку рациональное число (в данном случае целое) может быть равно иррациональному числу вида $6k\sqrt{2}$ только если $k=0$, что, в свою очередь, делает $L=0$.

Таким образом, мы получаем систему из двух условий:

1. $6(x_1 - x_2)\sqrt{2} = 0 \implies x_1 - x_2 = 0 \implies x_1 = x_2$.

2. $3(x_1^2 - x_2^2) + 3(y_1^2 - y_2^2) + 6(x_1-x_2) - 2(y_1 - y_2) = 0$.

Подставим $x_1 = x_2$ во второе уравнение:

$3(x_1^2 - x_1^2) + 3(y_1^2 - y_2^2) + 6(x_1-x_1) - 2(y_1 - y_2) = 0$

$3(y_1^2 - y_2^2) - 2(y_1 - y_2) = 0$

$3(y_1 - y_2)(y_1 + y_2) - 2(y_1 - y_2) = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $(y_1 - y_2)$:

$(y_1 - y_2)[3(y_1 + y_2) - 2] = 0$

Это равенство выполняется в двух случаях:

a) $y_1 - y_2 = 0$, что означает $y_1 = y_2$.

b) $3(y_1 + y_2) - 2 = 0$, что означает $y_1 + y_2 = \frac{2}{3}$.

Рассмотрим оба случая. В случае (a), мы получаем, что $x_1 = x_2$ и $y_1 = y_2$. Это означает, что координаты точек $B$ и $C$ полностью совпадают, то есть это одна и та же точка. Это противоречит нашему исходному предположению, что точки $B$ и $C$ различны.

В случае (b), мы имеем $y_1 + y_2 = \frac{2}{3}$. Однако, $y_1$ и $y_2$ являются целыми числами по условию, и их сумма также должна быть целым числом. Число $\frac{2}{3}$ не является целым, поэтому этот случай невозможен.

Оба возможных исхода приводят к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Это доказывает, что не существует двух различных точек с целочисленными координатами, которые были бы равноудалены от точки $A(\sqrt{2}-1; \frac{1}{3})$.

Ответ: Утверждение доказано.