Вопросы, страница 53 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как определить скалярное произведение векторов по их координатам? Запишите соответствующие формулы и докажите их.

2. Напишите условие перпендикулярности векторов и докажите его.

3. Напишите условие коллинеарности векторов и докажите его.

4. По какой формуле определяется косинус угла между векторами? Докажите ее.

1. Как определить скалярное произведение векторов по их координатам? Запишите соответствующие формулы и докажите их.
Скалярное произведение двух векторов в координатной форме равно сумме произведений их соответствующих координат.
Пусть даны два вектора на плоскости: $\vec{a} = \{x_1, y_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2, y_2\}$.
Их скалярное произведение вычисляется по формуле:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$

Для векторов в трехмерном пространстве: $\vec{a} = \{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2, y_2, z_2\}$.
Формула имеет вид:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

Доказательство (для трехмерного случая, для двумерного оно аналогично):
По определению, скалярное произведение векторов равно произведению их длин (модулей) на косинус угла между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$.
Рассмотрим треугольник, образованный векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$. По теореме косинусов для этого треугольника:
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$
Заменим произведение $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$ на скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$:
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$
Выразим из этого равенства скалярное произведение:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - |\vec{a} - \vec{b}|^2$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - |\vec{a} - \vec{b}|^2)$
Теперь распишем квадраты модулей векторов через их координаты:
$|\vec{a}|^2 = x_1^2 + y_1^2 + z_1^2$
$|\vec{b}|^2 = x_2^2 + y_2^2 + z_2^2$
Вектор $\vec{a} - \vec{b}$ имеет координаты $\{x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2\}$, следовательно, его квадрат модуля равен:
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2 = x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 + y_1^2 - 2y_1y_2 + y_2^2 + z_1^2 - 2z_1z_2 + z_2^2$
Подставим эти выражения в формулу для скалярного произведения:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}((x_1^2 + y_1^2 + z_1^2) + (x_2^2 + y_2^2 + z_2^2) - (x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 + y_1^2 - 2y_1y_2 + y_2^2 + z_1^2 - 2z_1z_2 + z_2^2))$
После упрощения (сокращения подобных слагаемых) получаем:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}(2x_1x_2 + 2y_1y_2 + 2z_1z_2) = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Скалярное произведение векторов $\vec{a} = \{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2, y_2, z_2\}$ определяется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

2. Напишите условие перпендикулярности векторов и докажите его.
Два ненулевых вектора перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Доказательство:
Доказательство основано на определении скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
1. Необходимость. Пусть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны. Это означает, что угол между ними $\alpha = 90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан). Косинус этого угла равен нулю: $\cos(90^\circ) = 0$. Подставив это значение в формулу скалярного произведения, получим:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cdot 0 = 0$
2. Достаточность. Пусть скалярное произведение ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Так как векторы ненулевые, их модули $|\vec{a}| \neq 0$ и $|\vec{b}| \neq 0$. Из равенства $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha = 0$ следует, что $\cos\alpha = 0$. Угол между векторами $\alpha$ находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. В этом диапазоне косинус равен нулю только при $\alpha = 90^\circ$. Следовательно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны.

Ответ: Условие перпендикулярности ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — равенство их скалярного произведения нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

3. Напишите условие коллинеарности векторов и докажите его.
Два ненулевых вектора коллинеарны (т.е. лежат на одной прямой или на параллельных прямых) тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны.
Для векторов $\vec{a} = \{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2, y_2, z_2\}$ условие коллинеарности записывается как существование такого числа $k$, что:
$x_1 = kx_2, \quad y_1 = ky_2, \quad z_1 = kz_2$
Или, если все координаты вектора $\vec{b}$ отличны от нуля, в виде пропорции:
$\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}$

Доказательство:
По определению, два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, если существует такое действительное число $k \neq 0$, что $\vec{a} = k\vec{b}$.
1. Необходимость. Пусть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Тогда по определению существует такое число $k$, что $\vec{a} = k\vec{b}$. Запишем это равенство в координатах:
$\{x_1, y_1, z_1\} = k\{x_2, y_2, z_2\} = \{kx_2, ky_2, kz_2\}$
Из равенства векторов следует равенство их соответствующих координат:
$x_1 = kx_2, \quad y_1 = ky_2, \quad z_1 = kz_2$
Это и есть условие пропорциональности координат.
2. Достаточность. Пусть координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ пропорциональны. Это означает, что существует такое число $k$, что выполняются равенства $x_1 = kx_2$, $y_1 = ky_2$, $z_1 = kz_2$. Эти три равенства можно записать в виде одного векторного равенства:
$\{x_1, y_1, z_1\} = \{kx_2, ky_2, kz_2\}$
$\vec{a} = k\vec{b}$
А это, по определению, означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Ответ: Условие коллинеарности ненулевых векторов $\vec{a} = \{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2, y_2, z_2\}$ — пропорциональность их координат: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}$.

4. По какой формуле определяется косинус угла между векторами? Докажите ее.
Косинус угла $\alpha$ между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин (модулей).
$\cos\alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
В координатной форме для векторов $\vec{a} = \{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2, y_2, z_2\}$ формула выглядит так:
$\cos\alpha = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$

Доказательство:
Эта формула является прямым следствием определения скалярного произведения и теоремы косинусов.
Геометрическое определение скалярного произведения векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$
Поскольку векторы ненулевые, их модули $|\vec{a}| \neq 0$ и $|\vec{b}| \neq 0$. Мы можем разделить обе части равенства на произведение модулей $|\vec{a}||\vec{b}|$:
$\cos\alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
Это доказывает формулу в векторном виде.
Чтобы доказать координатную форму, воспользуемся результатом из вопроса 1, где было доказано, что скалярное произведение в координатах равно $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$, а модуль вектора равен $|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$. Подставив эти выражения в доказанную выше векторную формулу, мы напрямую получаем координатную формулу для косинуса угла.

Ответ: Косинус угла $\alpha$ между векторами определяется по формуле $\cos\alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$, что в координатах для векторов $\vec{a} = \{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2, y_2, z_2\}$ равно $\cos\alpha = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$.