Номер 1.132, страница 54 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.132. Будут ли векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарными, если:

1) $\vec{a} = (-2; 1)$, $\vec{b} = (4; -2)$;

2) $\vec{a} = (1; -3)$, $\vec{b} = (1; 3)$;

3) $\vec{a} = (3; -2)$, $\vec{b} = (-3; 2)$;

4) $\vec{a} = (1; 0)$, $\vec{b} = (3; 0)$;

5) $\vec{a} = (0; -1)$, $\vec{b} = (1; 0)$;

6) $\vec{a} = (0; 0)$, $\vec{b} = (-2; 3)?

Два вектора $\vec{a} = (x_1; y_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2)$ коллинеарны, если существует такое число $k$, что $\vec{b} = k\vec{a}$. Это означает, что их координаты пропорциональны. Условие пропорциональности координат можно проверить с помощью равенства $x_1y_2 = x_2y_1$, или, что то же самое, $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$. Нулевой вектор $\vec{0}=(0;0)$ по определению коллинеарен любому вектору.

1) $\vec{a} = (-2; 1)$, $\vec{b} = (4; -2)$
Проверим условие коллинеарности $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$.
$(-2) \cdot (-2) - 4 \cdot 1 = 4 - 4 = 0$.
Условие выполняется, следовательно, векторы коллинеарны. Также можно заметить, что $\vec{b} = -2\vec{a}$.
Ответ: да, коллинеарны.

2) $\vec{a} = (1; -3)$, $\vec{b} = (1; 3)$
Проверим условие коллинеарности $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$.
$1 \cdot 3 - 1 \cdot (-3) = 3 + 3 = 6$.
Так как $6 \neq 0$, векторы не коллинеарны.
Ответ: нет, не коллинеарны.

3) $\vec{a} = (3; -2)$, $\vec{b} = (-3; 2)$
Проверим условие коллинеарности $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$.
$3 \cdot 2 - (-3) \cdot (-2) = 6 - 6 = 0$.
Условие выполняется, следовательно, векторы коллинеарны. Также можно заметить, что $\vec{b} = -1\vec{a}$.
Ответ: да, коллинеарны.

4) $\vec{a} = (1; 0)$, $\vec{b} = (3; 0)$
Проверим условие коллинеарности $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$.
$1 \cdot 0 - 3 \cdot 0 = 0 - 0 = 0$.
Условие выполняется, следовательно, векторы коллинеарны. Также можно заметить, что $\vec{b} = 3\vec{a}$.
Ответ: да, коллинеарны.

5) $\vec{a} = (0; -1)$, $\vec{b} = (1; 0)$
Проверим условие коллинеарности $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$.
$0 \cdot 0 - 1 \cdot (-1) = 0 + 1 = 1$.
Так как $1 \neq 0$, векторы не коллинеарны.
Ответ: нет, не коллинеарны.

6) $\vec{a} = (0; 0)$, $\vec{b} = (-2; 3)$
Вектор $\vec{a}$ является нулевым вектором. По определению, нулевой вектор коллинеарен любому другому вектору. Это следует из того, что для любого вектора $\vec{b}$ можно записать $\vec{a} = 0 \cdot \vec{b}$.
Ответ: да, коллинеарны.