Номер 1.135, страница 55 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.135. Найдите угол между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, если:

1)

$ \vec{a}=(1; 0) $, $ \vec{b}=(2; 2) $;

2)

$ \vec{a}=(1; 1) $, $ \vec{b}=(-1; \sqrt{3}) $;

3)

$ \vec{a}=(-\sqrt{3}; 3) $, $ \vec{b}=(0; 1) $;

4)

$ \vec{a}=(2; 0) $, $ \vec{b}=(1; -\sqrt{3}) $.

Для нахождения угла $\alpha$ между двумя векторами $\vec{a}=(x_1; y_1)$ и $\vec{b}=(x_2; y_2)$ используется формула, основанная на скалярном произведении векторов. Косинус угла между векторами равен отношению их скалярного произведения к произведению их длин (модулей):
$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$
Применим эту формулу для решения каждого подпункта.

1) Для векторов $\vec{a}=(1; 0)$ и $\vec{b}=(2; 2)$.
Вычислим скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 = 2$.
Вычислим модули векторов: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$, $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Найдем косинус угла: $\cos(\alpha) = \frac{2}{1 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, угол $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

2) Для векторов $\vec{a}=(1; 1)$ и $\vec{b}=(-1; \sqrt{3})$.
Вычислим скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}-1$.
Вычислим модули векторов: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$, $|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.
Найдем косинус угла: $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
Значение косинуса $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ соответствует углу $\alpha = 75^\circ$.
Ответ: $75^\circ$.

3) Для векторов $\vec{a}=(-\sqrt{3}; 3)$ и $\vec{b}=(0; 1)$.
Вычислим скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-\sqrt{3}) \cdot 0 + 3 \cdot 1 = 3$.
Вычислим модули векторов: $|\vec{a}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{3+9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, $|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$.
Найдем косинус угла: $\cos(\alpha) = \frac{3}{2\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, угол $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$.
Ответ: $30^\circ$.

4) Для векторов $\vec{a}=(2; 0)$ и $\vec{b}=(1; -\sqrt{3})$.
Вычислим скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + 0 \cdot (-\sqrt{3}) = 2$.
Вычислим модули векторов: $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$, $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.
Найдем косинус угла: $\cos(\alpha) = \frac{2}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, угол $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.