Номер 1.142, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.142. Найдите координаты единичного вектора, перпендикулярного вектору $\vec{a}=(a; b)$.

Пусть искомый единичный вектор имеет координаты $\vec{e} = (x; y)$.
По условию задачи, этот вектор должен удовлетворять двум требованиям:

1. Вектор $\vec{e}$ должен быть перпендикулярен вектору $\vec{a} = (a; b)$.
Условие перпендикулярности двух векторов заключается в том, что их скалярное произведение равно нулю.

$\vec{a} \cdot \vec{e} = 0$
$a \cdot x + b \cdot y = 0$

Из этого уравнения можно выразить одну координату через другую. Например, $by = -ax$. Если $b \ne 0$, то $y = -\frac{a}{b}x$.
Удобно выбрать одно из частных ненулевых решений этого уравнения. Например, пусть $x = -b$, тогда $a(-b) + by = 0$, откуда $by=ab$, и если $b \ne 0$, то $y=a$. Если же $b=0$, то $ax=0$, и так как вектор $\vec{a}$ не нулевой, $a \ne 0$, следовательно $x=0$, а $y$ может быть любым. Вектор $(0, a)$ будет перпендикулярен вектору $(a, 0)$. Аналогично, если $a=0$, то вектор $(-b, 0)$ перпендикулярен вектору $(0, b)$.Таким образом, вектор $\vec{p} = (-b; a)$ всегда перпендикулярен вектору $\vec{a} = (a; b)$. Любой другой вектор, перпендикулярный $\vec{a}$, будет коллинеарен вектору $\vec{p}$.

2. Вектор $\vec{e}$ должен быть единичным.
Это означает, что его длина (модуль) равна 1.

$|\vec{e}| = \sqrt{x^2 + y^2} = 1$

Мы нашли, что любой вектор, перпендикулярный $\vec{a}$, имеет вид $k \cdot \vec{p} = k(-b; a) = (-kb; ka)$ для некоторого числа $k$. Нам нужно найти такое $k$, чтобы этот вектор был единичным.

Найдем модуль вектора $k \cdot \vec{p}$:

$|k \cdot \vec{p}| = \sqrt{(-kb)^2 + (ka)^2} = \sqrt{k^2b^2 + k^2a^2} = \sqrt{k^2(a^2 + b^2)} = |k|\sqrt{a^2 + b^2}$

Приравняем модуль к единице:

$|k|\sqrt{a^2 + b^2} = 1$

Отсюда находим $|k|$ (предполагая, что вектор $\vec{a}$ не является нулевым, то есть $a^2 + b^2 \ne 0$):

$|k| = \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Это дает нам два возможных значения для $k$:

$k_1 = \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}$ и $k_2 = -\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Подставив эти значения $k$ в координаты вектора $(-kb; ka)$, мы получим два искомых единичных вектора, перпендикулярных вектору $\vec{a}$:

При $k_1 = \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}$:

$\vec{e}_1 = \left(-\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}; \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$

При $k_2 = -\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}$:

$\vec{e}_2 = \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}; -\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$

Эти два вектора противоположно направлены.

Ответ: $\left(-\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}; \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$ или $\left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}; -\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$.