Номер 1.145, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.145. Точки K и N — середины сторон BC и AC соответственно равностороннего треугольника ABC со стороной, равной 2. Найдите значение выражения:

1) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$;

2) $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$;

3) $\vec{BC} \cdot \vec{AC}$;

4) $(\vec{AB} + \vec{BC}) \cdot (\vec{AC} - \vec{AB})$;

5) $\vec{AK} \cdot \vec{BC}$;

6) $\vec{AK} \cdot \vec{BN}$;

7) $(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA})\vec{KN}$.

По условию задачи дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a=2$. Это означает, что длины сторон равны $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{AC}| = 2$, а все внутренние углы равны $60^\circ$. Точки $K$ и $N$ — середины сторон $BC$ и $AC$ соответственно.

1) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$

Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ — это угол при вершине $A$, то есть $\angle BAC = 60^\circ$.

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$.

Ответ: $2$.

2) $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$

Чтобы найти угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, их нужно отложить от одной точки. Если перенести вектор $\vec{BC}$ так, чтобы его начало совпало с точкой $A$, то угол между вектором $\vec{AB}$ и перенесенным вектором будет равен внешнему углу треугольника при вершине $B$, то есть $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(120^\circ) = 2 \cdot 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2$.

Альтернативный способ: $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = \vec{AB} \cdot (\vec{AC} - \vec{AB}) = \vec{AB} \cdot \vec{AC} - \vec{AB} \cdot \vec{AB} = \vec{AB} \cdot \vec{AC} - |\vec{AB}|^2 = 2 - 2^2 = 2 - 4 = -2$.

Ответ: $-2$.

3) $\vec{BC} \cdot \vec{AC}$

Для нахождения угла между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$ удобно заменить их на противоположные векторы, отложенные от вершины $C$: $\vec{CB}$ и $\vec{CA}$. Угол между ними $\angle BCA = 60^\circ$.

$\vec{BC} \cdot \vec{AC} = (-\vec{CB}) \cdot (-\vec{CA}) = \vec{CB} \cdot \vec{CA} = |\vec{CB}| \cdot |\vec{CA}| \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$.

Ответ: $2$.

4) $(\vec{AB} + \vec{BC}) \cdot (\vec{AC} - \vec{AB})$

Упростим выражения в скобках, используя правила сложения и вычитания векторов.

По правилу треугольника: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

По правилу вычитания векторов: $\vec{AC} - \vec{AB} = \vec{BC}$.

Тогда исходное выражение принимает вид: $\vec{AC} \cdot \vec{BC}$.

Скалярное произведение коммутативно, поэтому $\vec{AC} \cdot \vec{BC} = \vec{BC} \cdot \vec{AC}$, что было вычислено в пункте 3.

$(\vec{AB} + \vec{BC}) \cdot (\vec{AC} - \vec{AB}) = \vec{AC} \cdot \vec{BC} = 2$.

Ответ: $2$.

5) $\vec{AK} \cdot \vec{BC}$

Вектор $\vec{AK}$ является медианой треугольника $ABC$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, его медиана $AK$ также является высотой. Следовательно, $AK \perp BC$, и угол между векторами $\vec{AK}$ и $\vec{BC}$ равен $90^\circ$.

$\vec{AK} \cdot \vec{BC} = |\vec{AK}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(90^\circ) = |\vec{AK}| \cdot 2 \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$.

6) $\vec{AK} \cdot \vec{BN}$

Выразим векторы $\vec{AK}$ и $\vec{BN}$ через базисные векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

$K$ — середина $BC$, поэтому $\vec{AK} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$.

$N$ — середина $AC$, поэтому $\vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{AC}$. Тогда $\vec{BN} = \vec{AN} - \vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{AC} - \vec{AB}$.

Теперь найдем скалярное произведение:

$\vec{AK} \cdot \vec{BN} = \left(\frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\vec{AC} - \vec{AB}\right) = \frac{1}{2} (\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot (\frac{1}{2}\vec{AC} - \vec{AB})$

$\frac{1}{2} \left( \vec{AB} \cdot \frac{1}{2}\vec{AC} - \vec{AB} \cdot \vec{AB} + \vec{AC} \cdot \frac{1}{2}\vec{AC} - \vec{AC} \cdot \vec{AB} \right)$

$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}(\vec{AB} \cdot \vec{AC}) - |\vec{AB}|^2 + \frac{1}{2}|\vec{AC}|^2 - (\vec{AC} \cdot \vec{AB}) \right)$

Подставим известные значения: $|\vec{AB}|^2 = 2^2 = 4$, $|\vec{AC}|^2 = 2^2 = 4$, и $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2$.

$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}(2) - 4 + \frac{1}{2}(4) - 2 \right) = \frac{1}{2} (1 - 4 + 2 - 2) = \frac{1}{2} (-3) = -1.5$.

Ответ: $-1.5$.

7) $(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA}) \cdot \vec{KN}$

Рассмотрим сумму векторов в скобках: $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA}$.

Сумма векторов, образующих замкнутый контур (начало последнего вектора совпадает с началом первого), равна нулевому вектору.

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Тогда $\vec{AC} + \vec{CA} = \vec{AC} + (-\vec{AC}) = \vec{0}$.

Скалярное произведение любого вектора (в данном случае $\vec{KN}$) на нулевой вектор равно нулю.

$(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA}) \cdot \vec{KN} = \vec{0} \cdot \vec{KN} = 0$.

Ответ: $0$.