Номер 1.152, страница 57 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.152. Даны векторы $\vec{a} = (1; 0)$ и $\vec{b} = (1; 1)$. Каким должно быть число $\alpha$, чтобы векторы $\vec{a} + \alpha\vec{b}$ и $\vec{a}$ были перпендикулярными?

Для того чтобы два вектора были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю. В данном случае векторы, о которых идет речь, это $\vec{a} + \alpha\vec{b}$ и $\vec{a}$. Таким образом, должно выполняться условие:

$(\vec{a} + \alpha\vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$

Сначала найдем координаты вектора $\vec{a} + \alpha\vec{b}$. Нам даны координаты векторов $\vec{a} = (1; 0)$ и $\vec{b} = (1; 1)$.

Умножим вектор $\vec{b}$ на число $\alpha$:

$\alpha\vec{b} = \alpha(1; 1) = (\alpha \cdot 1; \alpha \cdot 1) = (\alpha; \alpha)$

Теперь сложим векторы $\vec{a}$ и $\alpha\vec{b}$:

$\vec{a} + \alpha\vec{b} = (1; 0) + (\alpha; \alpha) = (1 + \alpha; 0 + \alpha) = (1 + \alpha; \alpha)$

Теперь, когда у нас есть координаты обоих векторов, мы можем найти их скалярное произведение и приравнять его к нулю. Координаты векторов:

$\vec{a} + \alpha\vec{b} = (1 + \alpha; \alpha)$

$\vec{a} = (1; 0)$

Скалярное произведение векторов с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $x_1x_2 + y_1y_2$.

$(1 + \alpha) \cdot 1 + \alpha \cdot 0 = 0$

Решим полученное уравнение:

$1 + \alpha + 0 = 0$

$1 + \alpha = 0$

$\alpha = -1$

Таким образом, при $\alpha = -1$ векторы $\vec{a} + \alpha\vec{b}$ и $\vec{a}$ будут перпендикулярны.

Ответ: $\alpha = -1$.