Номер 1.159, страница 57 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.159. В квадрате $ABCD$ даны вершины $A(-2; 1)$ и $B(3;$

3). Найдите координаты других вершин квадрата.

В задаче даны координаты двух соседних вершин квадрата $ABCD$: $A(-2; 1)$ и $B(3; 3)$. Поскольку вершины в названии квадрата перечисляются последовательно, отрезок $AB$ является его стороной. Задача имеет два возможных решения, так как квадрат можно построить по обе стороны от отрезка $AB$.

Сначала найдем вектор, соответствующий стороне $AB$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (3 - (-2); 3 - 1) = (5; 2)$

Стороны квадрата, смежные со стороной $AB$ (например, $BC$), должны быть перпендикулярны ей и иметь такую же длину. Вектор, перпендикулярный вектору $\vec{v}=(a; b)$, имеет координаты $(-b; a)$ или $(b; -a)$.

Для вектора $\vec{AB}=(5; 2)$ перпендикулярными ему и равными по длине будут два вектора:

$\vec{n_1} = (-2; 5)$

$\vec{n_2} = (2; -5)$

Каждый из этих векторов определяет одно из двух возможных положений квадрата. Рассмотрим оба случая.

Случай 1

Пусть вектор $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{n_1} = (-2; 5)$.

Координаты вершины $C$ находим, прибавляя к координатам точки $B$ компоненты вектора $\vec{BC}$:

$C = (x_B + x_{\vec{BC}}; y_B + y_{\vec{BC}}) = (3 + (-2); 3 + 5) = (1; 8)$

В квадрате $ABCD$ векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ равны. Координаты вершины $D$ находим, прибавляя к координатам точки $A$ компоненты вектора $\vec{AD}$:

$D = (x_A + x_{\vec{AD}}; y_A + y_{\vec{AD}}) = (-2 + (-2); 1 + 5) = (-4; 6)$

Ответ: $C(1; 8)$, $D(-4; 6)$.

Случай 2

Пусть вектор $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{n_2} = (2; -5)$.

Координаты вершины $C$:

$C = (x_B + x_{\vec{BC}}; y_B + y_{\vec{BC}}) = (3 + 2; 3 + (-5)) = (5; -2)$

Координаты вершины $D$ (используя равенство $\vec{AD} = \vec{BC}$):

$D = (x_A + x_{\vec{AD}}; y_A + y_{\vec{AD}}) = (-2 + 2; 1 + (-5)) = (0; -4)$

Ответ: $C(5; -2)$, $D(0; -4)$.