Номер 1.163, страница 63 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.163. Напишите уравнение прямой, заданной точкой $M_0(x_0; y_0)$ и вектором нормали $\vec{n}$:

1) $M_0(2; -1)$, $\vec{n}=(-3; 2);$

2) $M_0(-3; 4)$, $\vec{n}=(3; 5);$

3) $M_0(2; -3)$, $\vec{n}=(0,5; 2,5);$

4) $M_0(\frac{2}{3}; -1,5)$, $\vec{n}=(0;1).$

Общее уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0)$ и имеющей вектор нормали $\vec{n}=(A; B)$, имеет вид:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$

1) Дана точка $M_0(2; -1)$ и вектор нормали $\vec{n}=(-3; 2)$.

В данном случае, $x_0 = 2$, $y_0 = -1$, $A = -3$ и $B = 2$.

Подставим эти значения в общую формулу уравнения прямой:

$-3(x - 2) + 2(y - (-1)) = 0$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$-3x + 6 + 2y + 2 = 0$

$-3x + 2y + 8 = 0$

Для удобства можно умножить уравнение на $-1$, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$3x - 2y - 8 = 0$

Ответ: $3x - 2y - 8 = 0$.

2) Дана точка $M_0(-3; 4)$ и вектор нормали $\vec{n}=(3; 5)$.

Здесь $x_0 = -3$, $y_0 = 4$, $A = 3$ и $B = 5$.

Подставим эти значения в формулу:

$3(x - (-3)) + 5(y - 4) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3(x + 3) + 5(y - 4) = 0$

$3x + 9 + 5y - 20 = 0$

$3x + 5y - 11 = 0$

Ответ: $3x + 5y - 11 = 0$.

3) Дана точка $M_0(2; -3)$ и вектор нормали $\vec{n}=(0,5; 2,5)$.

Здесь $x_0 = 2$, $y_0 = -3$, $A = 0,5$ и $B = 2,5$.

Подставим значения в формулу:

$0,5(x - 2) + 2,5(y - (-3)) = 0$

Упростим выражение:

$0,5(x - 2) + 2,5(y + 3) = 0$

$0,5x - 1 + 2,5y + 7,5 = 0$

$0,5x + 2,5y + 6,5 = 0$

Чтобы избавиться от десятичных дробей в коэффициентах, умножим все уравнение на 2:

$2 \cdot (0,5x + 2,5y + 6,5) = 2 \cdot 0$

$x + 5y + 13 = 0$

Ответ: $x + 5y + 13 = 0$.

4) Дана точка $M_0(\frac{2}{3}; -1,5)$ и вектор нормали $\vec{n}=(0; 1)$.

В этом случае $x_0 = \frac{2}{3}$, $y_0 = -1,5$, $A = 0$ и $B = 1$.

Подставим значения в формулу:

$0 \cdot (x - \frac{2}{3}) + 1 \cdot (y - (-1,5)) = 0$

Упростим выражение:

$0 + y + 1,5 = 0$

$y + 1,5 = 0$

Это уравнение является горизонтальной прямой. Его можно записать с целыми коэффициентами, умножив обе части на 2:

$2y + 3 = 0$

Ответ: $y + 1,5 = 0$ (или $2y + 3 = 0$).