Номер 1.167, страница 64 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.167. Треугольник ABC задан уравнениями прямых, проходящих через его стороны: $4x-3y-65=0$, $7x-24y+55=0$ и $3x+4y-5=0$. Найдите координаты его вершин.

Вершины треугольника являются точками пересечения прямых, на которых лежат его стороны. Чтобы найти координаты вершин, необходимо попарно решить системы уравнений, задающих эти прямые.

Даны уравнения сторон треугольника:

1) $4x - 3y - 65 = 0$

2) $7x - 24y + 55 = 0$

3) $3x + 4y - 5 = 0$

1. Найдем координаты первой вершины (точка пересечения прямых 1 и 2)

Для этого решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 4x - 3y - 65 = 0 \\ 7x - 24y + 55 = 0 \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 8, чтобы коэффициенты при $y$ стали равны по модулю:

$ \begin{cases} 32x - 24y - 520 = 0 \\ 7x - 24y + 55 = 0 \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого:

$(32x - 24y - 520) - (7x - 24y + 55) = 0$

$32x - 7x - 520 - 55 = 0$

$25x - 575 = 0$

$25x = 575$

$x = 23$

Подставим найденное значение $x$ в первое исходное уравнение:

$4(23) - 3y - 65 = 0$

$92 - 3y - 65 = 0$

$27 - 3y = 0$

$3y = 27$

$y = 9$

Таким образом, координаты первой вершины: $(23, 9)$.

2. Найдем координаты второй вершины (точка пересечения прямых 1 и 3)

Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 4x - 3y - 65 = 0 \\ 3x + 4y - 5 = 0 \end{cases} $

Для решения методом сложения умножим первое уравнение на 4, а второе на 3:

$ \begin{cases} 16x - 12y - 260 = 0 \\ 9x + 12y - 15 = 0 \end{cases} $

Сложим полученные уравнения:

$(16x - 12y - 260) + (9x + 12y - 15) = 0$

$25x - 275 = 0$

$25x = 275$

$x = 11$

Подставим $x = 11$ во второе исходное уравнение:

$3(11) + 4y - 5 = 0$

$33 + 4y - 5 = 0$

$28 + 4y = 0$

$4y = -28$

$y = -7$

Координаты второй вершины: $(11, -7)$.

3. Найдем координаты третьей вершины (точка пересечения прямых 2 и 3)

Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 7x - 24y + 55 = 0 \\ 3x + 4y - 5 = 0 \end{cases} $

Умножим второе уравнение на 6, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными по знаку:

$ \begin{cases} 7x - 24y + 55 = 0 \\ 18x + 24y - 30 = 0 \end{cases} $

Сложим полученные уравнения:

$(7x - 24y + 55) + (18x + 24y - 30) = 0$

$25x + 25 = 0$

$25x = -25$

$x = -1$

Подставим $x = -1$ во второе исходное уравнение:

$3(-1) + 4y - 5 = 0$

$-3 + 4y - 5 = 0$

$4y - 8 = 0$

$4y = 8$

$y = 2$

Координаты третьей вершины: $(-1, 2)$.

Ответ: Координаты вершин треугольника: $(23, 9)$, $(11, -7)$, $(-1, 2)$.