Номер 1.171, страница 64 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.171. Прямая, проходящая через точку $M_0(x_0; y_0)$ с направляющим вектором $\vec{p}=(\alpha; \beta)$, параллельна оси:

1) $Ox$;

2) $Oy$.

Как записывается направляющий вектор и уравнение этой прямой?

1) Ox;
Если прямая параллельна оси абсцисс (Ox), то её направляющий вектор $\vec{p}=(\alpha; \beta)$ должен быть коллинеарен (параллелен) направляющему вектору оси Ox. В качестве направляющего вектора для оси Ox можно взять единичный вектор (орт) $\vec{i}=(1; 0)$.
Условие коллинеарности векторов $\vec{p}$ и $\vec{i}$ означает, что их соответствующие координаты пропорциональны. Отсюда следует, что вторая координата вектора $\vec{p}$ должна быть равна нулю: $\beta = 0$. Поскольку направляющий вектор по определению не может быть нулевым, его первая координата должна быть отлична от нуля: $\alpha \neq 0$.
Таким образом, направляющий вектор прямой имеет вид $\vec{p}=(\alpha; 0)$, где $\alpha$ — любое действительное число, не равное нулю.
Уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0)$ с направляющим вектором $\vec{p}=(\alpha; \beta)$, в параметрической форме записывается как система:
$\begin{cases} x = x_0 + \alpha t \\ y = y_0 + \beta t \end{cases}$
Подставив $\beta = 0$, получаем:
$\begin{cases} x = x_0 + \alpha t \\ y = y_0 + 0 \cdot t \end{cases}$
Из второго уравнения системы следует, что для любой точки на прямой ордината постоянна и равна $y_0$. Следовательно, уравнение прямой имеет вид $y = y_0$.
Ответ: Направляющий вектор записывается как $\vec{p}=(\alpha; 0)$, где $\alpha \neq 0$. Уравнение прямой: $y = y_0$.

2) Oy;
Если прямая параллельна оси ординат (Oy), то её направляющий вектор $\vec{p}=(\alpha; \beta)$ должен быть коллинеарен направляющему вектору оси Oy, в качестве которого можно взять орт $\vec{j}=(0; 1)$.
Условие коллинеарности векторов $\vec{p}$ и $\vec{j}$ означает, что первая координата вектора $\vec{p}$ должна быть равна нулю: $\alpha = 0$. Так как направляющий вектор не может быть нулевым, его вторая координата должна быть отлична от нуля: $\beta \neq 0$.
Таким образом, направляющий вектор прямой имеет вид $\vec{p}=(0; \beta)$, где $\beta$ — любое действительное число, не равное нулю.
Используем параметрические уравнения прямой, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0)$:
$\begin{cases} x = x_0 + \alpha t \\ y = y_0 + \beta t \end{cases}$
Подставив $\alpha = 0$, получаем:
$\begin{cases} x = x_0 + 0 \cdot t \\ y = y_0 + \beta t \end{cases}$
Из первого уравнения системы следует, что для любой точки на прямой абсцисса постоянна и равна $x_0$. Следовательно, уравнение прямой имеет вид $x = x_0$.
Ответ: Направляющий вектор записывается как $\vec{p}=(0; \beta)$, где $\beta \neq 0$. Уравнение прямой: $x = x_0$.