Номер 1.172, страница 64 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.172. Какое условие должно выполняться для того, чтобы прямые, заданные уравнениями $a_1x+b_1y+c_1=0$ и $a_2x+b_2y+c_2=0$,

1) были параллельны;

2) были перпендикулярны;

3) совпадали?

Пусть даны две прямые, заданные общими уравнениями $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ и $a_2x + b_2y + c_2 = 0$. Их взаимное расположение можно определить через их нормальные векторы $\vec{n}_1 = (a_1, b_1)$ и $\vec{n}_2 = (a_2, b_2)$ или через их угловые коэффициенты.

1) были параллельны

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы коллинеарны (параллельны). Векторы $\vec{n}_1 = (a_1, b_1)$ и $\vec{n}_2 = (a_2, b_2)$ коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Это условие можно записать в виде пропорции $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ (при условии, что $a_2 \neq 0, b_2 \neq 0$). В общем виде, не зависящем от равенства коэффициентов нулю, это условие записывается как $a_1b_2 - a_2b_1 = 0$. Стоит отметить, что совпадающие прямые являются частным случаем параллельных, и для них это условие также выполняется.

Ответ: Коэффициенты при переменных пропорциональны: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$, или в общем виде $a_1b_2 - a_2b_1 = 0$.

2) были перпендикулярны

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы $\vec{n}_1 = (a_1, b_1)$ и $\vec{n}_2 = (a_2, b_2)$ ортогональны (взаимно перпендикулярны). Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю: $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$. Вычисляя скалярное произведение, получаем искомое условие.

Ответ: $a_1a_2 + b_1b_2 = 0$.

3) совпадали

Две прямые совпадают, если они являются одной и той же линией. Это означает, что одно уравнение прямой может быть получено из другого путем умножения на некоторый ненулевой множитель $\lambda$. Следовательно, все коэффициенты одного уравнения должны быть пропорциональны соответствующим коэффициентам другого, включая свободные члены.

Ответ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.