Номер 1.178, страница 65 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.178. Даны уравнения прямых, проходящих через стороны треугольника. Покажите, что этот треугольник является равнобедренным:

1) $x-2y+6=0$, $x+y=0$, $2x-y-6=0$;

2) $x+y+9=0$, $4x-7y+25=0$, $7x-4y-14=0$.

1) Чтобы доказать, что треугольник, стороны которого лежат на прямых $x-2y+6=0$, $x+y=0$ и $2x-y-6=0$, является равнобедренным, мы можем сравнить углы этого треугольника. Если два угла равны, то треугольник равнобедренный. Угол между двумя сторонами треугольника равен углу между прямыми, на которых лежат эти стороны.

Обозначим прямые:

$l_1: x - 2y + 6 = 0$

$l_2: x + y = 0$

$l_3: 2x - y - 6 = 0$

Угол $\alpha$ между двумя прямыми, заданными уравнениями $A_1x+B_1y+C_1=0$ и $A_2x+B_2y+C_2=0$, можно найти, используя их нормальные векторы $\vec{n_1}=(A_1, B_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2)$. Косинус угла между прямыми вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||} = \frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$

Найдем нормальные векторы для наших прямых и их модули:

Для $l_1$: $\vec{n_1} = (1, -2)$, $||\vec{n_1}|| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.

Для $l_2$: $\vec{n_2} = (1, 1)$, $||\vec{n_2}|| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Для $l_3$: $\vec{n_3} = (2, -1)$, $||\vec{n_3}|| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.

Теперь вычислим косинусы углов между парами прямых, которые являются углами треугольника.

Угол $\alpha_{12}$ между прямыми $l_1$ и $l_2$:

$\cos \alpha_{12} = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||} = \frac{|1 \cdot 1 + (-2) \cdot 1|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}} = \frac{|1-2|}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

Угол $\alpha_{23}$ между прямыми $l_2$ и $l_3$:

$\cos \alpha_{23} = \frac{|\vec{n_2} \cdot \vec{n_3}|}{||\vec{n_2}|| \cdot ||\vec{n_3}||} = \frac{|1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1)|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{|2-1|}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

Угол $\alpha_{13}$ между прямыми $l_1$ и $l_3$:

$\cos \alpha_{13} = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_3}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_3}||} = \frac{|1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-1)|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{|2+2|}{5} = \frac{4}{5}$.

Поскольку $\cos \alpha_{12} = \cos \alpha_{23}$, то углы между прямыми $(l_1, l_2)$ и $(l_2, l_3)$ равны. Это означает, что два из трех углов треугольника равны между собой.

Следовательно, треугольник является равнобедренным.

Ответ: Поскольку два угла треугольника равны (их косинусы равны $\frac{1}{\sqrt{10}}$), треугольник является равнобедренным.

2) Аналогично предыдущему пункту, докажем, что треугольник равнобедренный, сравнив его углы. Найдем косинусы углов между прямыми, на которых лежат стороны треугольника.

Даны прямые:

$l_1: x + y + 9 = 0$

$l_2: 4x - 7y + 25 = 0$

$l_3: 7x - 4y - 14 = 0$

Найдем нормальные векторы для этих прямых и их модули:

Для $l_1$: $\vec{n_1} = (1, 1)$, $||\vec{n_1}|| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Для $l_2$: $\vec{n_2} = (4, -7)$, $||\vec{n_2}|| = \sqrt{4^2 + (-7)^2} = \sqrt{16+49} = \sqrt{65}$.

Для $l_3$: $\vec{n_3} = (7, -4)$, $||\vec{n_3}|| = \sqrt{7^2 + (-4)^2} = \sqrt{49+16} = \sqrt{65}$.

Вычислим косинусы углов между парами прямых.

Угол $\alpha_{12}$ между прямыми $l_1$ и $l_2$:

$\cos \alpha_{12} = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||} = \frac{|1 \cdot 4 + 1 \cdot (-7)|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{65}} = \frac{|4-7|}{\sqrt{130}} = \frac{3}{\sqrt{130}}$.

Угол $\alpha_{13}$ между прямыми $l_1$ и $l_3$:

$\cos \alpha_{13} = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_3}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_3}||} = \frac{|1 \cdot 7 + 1 \cdot (-4)|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{65}} = \frac{|7-4|}{\sqrt{130}} = \frac{3}{\sqrt{130}}$.

Угол $\alpha_{23}$ между прямыми $l_2$ и $l_3$:

$\cos \alpha_{23} = \frac{|\vec{n_2} \cdot \vec{n_3}|}{||\vec{n_2}|| \cdot ||\vec{n_3}||} = \frac{|4 \cdot 7 + (-7) \cdot (-4)|}{\sqrt{65} \cdot \sqrt{65}} = \frac{|28+28|}{65} = \frac{56}{65}$.

Мы видим, что $\cos \alpha_{12} = \cos \alpha_{13}$. Это означает, что угол при вершине, образованной пересечением прямых $l_1$ и $l_2$, равен углу при вершине, образованной пересечением прямых $l_1$ и $l_3$.

Так как два угла треугольника равны, он является равнобедренным.

Ответ: Поскольку два угла треугольника равны (их косинусы равны $\frac{3}{\sqrt{130}}$), треугольник является равнобедренным.