Номер 1.182, страница 65 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.182. Докажите, что диагонали параллелограмма в точке их пересечения делятся пополам.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, в котором диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Необходимо доказать, что точка пересечения $O$ делит диагонали пополам, то есть $AO = OC$ и $BO = OD$.

Для доказательства рассмотрим треугольники, образованные пересечением диагоналей. Возьмем треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

1. Стороны $AB$ и $CD$ равны ($AB = CD$), так как они являются противоположными сторонами параллелограмма по его свойству.

2. Угол $\angle OAB$ равен углу $\angle OCD$, так как это накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых $AB$ и $CD$ секущей $AC$.

3. Угол $\angle OBA$ равен углу $\angle ODC$, так как это накрест лежащие углы, образованные при пересечении тех же параллельных прямых $AB$ и $CD$ секущей $BD$.

Таким образом, треугольник $\triangle AOB$ равен треугольнику $\triangle COD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Следовательно, сторона $AO$ треугольника $\triangle AOB$ равна соответствующей стороне $OC$ треугольника $\triangle COD$, а сторона $BO$ равна стороне $OD$. То есть $AO = OC$ и $BO = OD$.

Это и доказывает, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство отрезков диагоналей ($AO = OC$ и $BO = OD$) следует из равенства треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle COD$, которое доказывается по второму признаку равенства треугольников (сторона и два прилежащих угла), используя свойства параллельных прямых и равенство противоположных сторон параллелограмма.