Номер 1.175, страница 65 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.175. Какие пары прямых являются параллельными, а какие — перпендикулярными?

1) $3x-y+5=0$ и $x+3y-1=0$;

2) $3x+4y+1=0$ и $4x-3y+8=0$;

3) $6x-2y+1=0$ и $3x-y+7=0$;

4) $9x-12y+1=0$ и $8x+6y-13=0$;

5) $6x-15y+3=0$ и $10x+4y-2=0$;

6) $3x-4y+7=0$ и $6x-8y+1=0$.

Для определения взаимного расположения двух прямых, заданных общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, используются следующие условия:

1. Условие параллельности: нормальные векторы прямых $\vec{n_1}=(A_1, B_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2)$ коллинеарны. Это означает, что их координаты пропорциональны: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$. Если также $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$, то прямые совпадают.

2. Условие перпендикулярности: нормальные векторы прямых $\vec{n_1}=(A_1, B_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2)$ ортогональны (перпендикулярны). Это означает, что их скалярное произведение равно нулю: $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.

Рассмотрим каждую пару прямых.

1) $3x-y+5=0$ и $x+3y-1=0$

Для первой прямой коэффициенты: $A_1 = 3, B_1 = -1$.

Для второй прямой коэффициенты: $A_2 = 1, B_2 = 3$.

Проверим условие параллельности: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{3}{1} = 3$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{-1}{3}$. Так как $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$, прямые не параллельны.

Проверим условие перпендикулярности: $A_1A_2 + B_1B_2 = 3 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 = 3 - 3 = 0$. Условие выполняется, следовательно, прямые перпендикулярны.

Ответ: перпендикулярны.

2) $3x+4y+1=0$ и $4x-3y+8=0$

Для первой прямой коэффициенты: $A_1 = 3, B_1 = 4$.

Для второй прямой коэффициенты: $A_2 = 4, B_2 = -3$.

Проверим условие параллельности: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{3}{4}$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{4}{-3}$. Так как $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$, прямые не параллельны.

Проверим условие перпендикулярности: $A_1A_2 + B_1B_2 = 3 \cdot 4 + 4 \cdot (-3) = 12 - 12 = 0$. Условие выполняется, следовательно, прямые перпендикулярны.

Ответ: перпендикулярны.

3) $6x-2y+1=0$ и $3x-y+7=0$

Для первой прямой коэффициенты: $A_1 = 6, B_1 = -2, C_1 = 1$.

Для второй прямой коэффициенты: $A_2 = 3, B_2 = -1, C_2 = 7$.

Проверим условие параллельности: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{6}{3} = 2$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{-2}{-1} = 2$. Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$, прямые параллельны. Проверим, не совпадают ли они: $\frac{C_1}{C_2} = \frac{1}{7}$. Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$, прямые параллельны, но не совпадают.

Ответ: параллельны.

4) $9x-12y+1=0$ и $8x+6y-13=0$

Для первой прямой коэффициенты: $A_1 = 9, B_1 = -12$.

Для второй прямой коэффициенты: $A_2 = 8, B_2 = 6$.

Проверим условие параллельности: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{9}{8}$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{-12}{6} = -2$. Так как $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$, прямые не параллельны.

Проверим условие перпендикулярности: $A_1A_2 + B_1B_2 = 9 \cdot 8 + (-12) \cdot 6 = 72 - 72 = 0$. Условие выполняется, следовательно, прямые перпендикулярны.

Ответ: перпендикулярны.

5) $6x-15y+3=0$ и $10x+4y-2=0$

Упростим уравнения, разделив первое на 3, а второе на 2: $2x-5y+1=0$ и $5x+2y-1=0$.

Для первой прямой коэффициенты: $A_1 = 2, B_1 = -5$.

Для второй прямой коэффициенты: $A_2 = 5, B_2 = 2$.

Проверим условие параллельности: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{5}$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{-5}{2}$. Так как $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$, прямые не параллельны.

Проверим условие перпендикулярности: $A_1A_2 + B_1B_2 = 2 \cdot 5 + (-5) \cdot 2 = 10 - 10 = 0$. Условие выполняется, следовательно, прямые перпендикулярны.

Ответ: перпендикулярны.

6) $3x-4y+7=0$ и $6x-8y+1=0$

Для первой прямой коэффициенты: $A_1 = 3, B_1 = -4, C_1 = 7$.

Для второй прямой коэффициенты: $A_2 = 6, B_2 = -8, C_2 = 1$.

Проверим условие параллельности: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2}$. Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$, прямые параллельны. Проверим, не совпадают ли они: $\frac{C_1}{C_2} = \frac{7}{1} = 7$. Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$, прямые параллельны, но не совпадают.

Ответ: параллельны.