Номер 1.181, страница 65 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.181. Найдите длины диагоналей параллелограмма ABCD, если $\overrightarrow{AB} = 2\vec{a} + \vec{b}$, $\overrightarrow{AD} = \vec{a} - 3\vec{b}$, $|\vec{a}|=4$, $|\vec{b}|=3$ и $(\widehat{\vec{a},\vec{b}})=60^{\circ}$.

Векторы диагоналей параллелограмма $ABCD$ выражаются через векторы его смежных сторон $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ следующим образом:

Первая диагональ: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

Вторая диагональ: $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$

Используя данные из условия задачи:

$\vec{AB} = 2\vec{a} + \vec{b}$

$\vec{AD} = \vec{a} - 3\vec{b}$

Выразим векторы диагоналей через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{AC} = (2\vec{a} + \vec{b}) + (\vec{a} - 3\vec{b}) = 3\vec{a} - 2\vec{b}$

$\vec{BD} = (\vec{a} - 3\vec{b}) - (2\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} - 3\vec{b} - 2\vec{a} - \vec{b} = -\vec{a} - 4\vec{b}$

Длина вектора равна квадратному корню из его скалярного квадрата: $|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v}^2}$. Для вычисления скалярного квадрата нам понадобится скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$, зная, что $|\vec{a}|=4$, $|\vec{b}|=3$ и угол между ними $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})=60^\circ$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = 4 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$.

Теперь мы можем найти длины диагоналей.

Нахождение длины диагонали AC

Длина диагонали $AC$ равна модулю вектора $\vec{AC}$. Найдем квадрат длины:

$|AC|^2 = |\vec{AC}|^2 = |3\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = (3\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (3\vec{a} - 2\vec{b})$

Раскрывая скобки по правилам скалярного произведения, получаем:

$|AC|^2 = 9(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 2 \cdot (3\vec{a} \cdot 2\vec{b}) + 4(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 9|\vec{a}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2$

Подставляем известные значения:

$|AC|^2 = 9 \cdot 4^2 - 12 \cdot 6 + 4 \cdot 3^2 = 9 \cdot 16 - 72 + 4 \cdot 9 = 144 - 72 + 36 = 108$

Следовательно, длина диагонали $AC$ равна:

$|AC| = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$

Нахождение длины диагонали BD

Длина диагонали $BD$ равна модулю вектора $\vec{BD}$. Найдем квадрат длины:

$|BD|^2 = |\vec{BD}|^2 = |-\vec{a} - 4\vec{b}|^2 = (-(\vec{a} + 4\vec{b})) \cdot (-(\vec{a} + 4\vec{b})) = (\vec{a} + 4\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 4\vec{b})$

Раскрывая скобки, получаем:

$|BD|^2 = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot 4\vec{b}) + |4\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 8(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 16|\vec{b}|^2$

Подставляем известные значения:

$|BD|^2 = 4^2 + 8 \cdot 6 + 16 \cdot 3^2 = 16 + 48 + 16 \cdot 9 = 64 + 144 = 208$

Следовательно, длина диагонали $BD$ равна:

$|BD| = \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13}$

Ответ: длины диагоналей параллелограмма равны $6\sqrt{3}$ и $4\sqrt{13}$.