Номер 1.188, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.188. Покажите, что середины сторон любого выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Обозначим середины его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ как точки $K, L, M$ и $N$ соответственно. Четырехугольник, образованный этими точками, — это $KLMN$. Требуется доказать, что $KLMN$ является параллелограммом.

Доказательство:

1. Проведем диагональ $AC$ в исходном четырехугольнике $ABCD$. Эта диагональ разбивает его на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

2. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ (точка $K$) и $BC$ (точка $L$). Следовательно, $KL$ является средней линией треугольника $\triangle ABC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине. Таким образом:
$KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Отрезок $NM$ соединяет середины сторон $DA$ (точка $N$) и $CD$ (точка $M$). Следовательно, $NM$ является средней линией треугольника $\triangle ADC$. Аналогично пункту 2:
$NM \parallel AC$ и $NM = \frac{1}{2}AC$.

4. Из результатов, полученных в пунктах 2 и 3, мы имеем:
- $KL \parallel AC$ и $NM \parallel AC$, из чего следует, что $KL \parallel NM$.
- $KL = \frac{1}{2}AC$ и $NM = \frac{1}{2}AC$, из чего следует, что $KL = NM$.

5. Мы получили, что в четырехугольнике $KLMN$ две противоположные стороны ($KL$ и $NM$) параллельны и равны по длине. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырехугольник является параллелограммом.

Таким образом, $KLMN$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник, вершины которого находятся в серединах сторон произвольного выпуклого четырехугольника, всегда является параллелограммом. Этот факт известен как теорема Вариньона. Доказательство основано на свойстве средней линии треугольника. Каждая пара противолежащих сторон этого нового четырехугольника параллельна одной из диагоналей исходного четырехугольника и равна ее половине, что делает эти стороны параллельными и равными между собой.