Номер 1.194, страница 67 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.194. Покажите, что уравнение прямой, отсекающей на координатных осях отрезки, равные $|a|$ и $|b|$, задается равенством

$ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1. $

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках.

Условие задачи гласит, что прямая отсекает на координатных осях отрезки, равные по длине $|a|$ и $|b|$. Это означает, что прямая пересекает ось абсцисс (Ox) в точке с координатой $x=a$ и ось ординат (Oy) в точке с координатой $y=b$. Таким образом, прямая проходит через две точки: $A(a, 0)$ и $B(0, b)$. Для того чтобы уравнение имело смысл, необходимо, чтобы $a \neq 0$ и $b \neq 0$, то есть прямая не проходит через начало координат и не параллельна ни одной из осей.

Визуальное представление данной прямой на координатной плоскости (для случая $a > 0$ и $b > 0$):

Для вывода уравнения прямой воспользуемся каноническим уравнением прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $$ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} $$

Подставим в эту формулу координаты наших точек $A(a, 0)$ (где $x_1=a, y_1=0$) и $B(0, b)$ (где $x_2=0, y_2=b$): $$ \frac{x - a}{0 - a} = \frac{y - 0}{b - 0} $$

Упростим полученное равенство: $$ \frac{x - a}{-a} = \frac{y}{b} $$

Теперь выполним почленное деление дроби в левой части уравнения: $$ \frac{x}{-a} - \frac{a}{-a} = \frac{y}{b} $$ $$ -\frac{x}{a} + 1 = \frac{y}{b} $$

Перенесем слагаемое $-\frac{x}{a}$ в правую часть уравнения, чтобы привести его к требуемому виду: $$ 1 = \frac{x}{a} + \frac{y}{b} $$

Таким образом, мы показали, что уравнение прямой, отсекающей на осях Ox и Oy отрезки $a$ и $b$, действительно имеет вид $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

Проверка
Для полной уверенности можно проверить, удовлетворяют ли точки $A(a, 0)$ и $B(0, b)$ полученному уравнению.
1. Подставляем координаты точки $A(a, 0)$: $$ \frac{a}{a} + \frac{0}{b} = 1 + 0 = 1 $$ Равенство $1=1$ истинно, значит точка $A$ лежит на прямой.
2. Подставляем координаты точки $B(0, b)$: $$ \frac{0}{a} + \frac{b}{b} = 0 + 1 = 1 $$ Равенство $1=1$ истинно, значит точка $B$ лежит на прямой.
Поскольку обе точки принадлежат прямой, полученное уравнение верно.

Ответ: Доказано, что уравнение прямой, отсекающей на координатных осях отрезки, равные $|a|$ и $|b|$, задается равенством $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.