Номер 1.196, страница 67 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.196. Покажите, что угол $ \varphi $ между прямыми $ y=k_1x+b_1 $ и $ y=k_2x+b_2 $ определяется по формуле

$ \text{tg}\varphi = \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} $

Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$.

Геометрический смысл углового коэффициента $k$ заключается в том, что он равен тангенсу угла наклона $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс (оси Ox). Следовательно, для данных прямых мы можем записать:

$k_1 = \text{tg} \alpha_1$

$k_2 = \text{tg} \alpha_2$

где $\alpha_1$ и $\alpha_2$ — это углы наклона первой и второй прямых соответственно. Угол $\varphi$ между этими двумя прямыми можно найти через разность углов их наклона.

Рассмотрим графическое представление. Угол $\varphi$, образованный при пересечении двух прямых $l_1$ и $l_2$, связан с их углами наклона $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

На рисунке показаны прямые $l_1$ и $l_2$, пересекающиеся в точке P. Проведем через некоторую точку горизонтальную прямую, которую наши прямые пересекут в точках A и B. В образовавшемся треугольнике PAB, угол при вершине B равен углу наклона $\alpha_1$ прямой $l_1$. Угол $\alpha_2$ является внешним углом треугольника при вершине A.

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В нашем случае:

$\alpha_2 = \alpha_1 + \varphi$

Из этого соотношения мы можем выразить искомый угол $\varphi$:

$\varphi = \alpha_2 - \alpha_1$

Теперь, чтобы найти тангенс угла $\varphi$, воспользуемся тригонометрической формулой тангенса разности двух углов:

$\text{tg}(\alpha_2 - \alpha_1) = \frac{\text{tg} \alpha_2 - \text{tg} \alpha_1}{1 + \text{tg} \alpha_1 \text{tg} \alpha_2}$

Подставим в эту формулу ранее определенные соотношения $k_1 = \text{tg} \alpha_1$ и $k_2 = \text{tg} \alpha_2$:

$\text{tg} \varphi = \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2}$

Эта формула и определяет тангенс угла между двумя прямыми. Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула $\text{tg}\varphi = \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2}$ доказана.