Номер 1.192, страница 67 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.192. Из точки $D(-3; 4)$ опущен перпендикуляр на прямую, проходящую через точки $A(4; 13)$ и $B(0; -7)$. В каком отношении основание этого перпендикуляра делит отрезок $AB$?

Для решения задачи найдем отношение, в котором основание перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на прямую $AB$, делит отрезок $AB$. Обозначим основание перпендикуляра как точку $H$.

Поскольку точка $H$ лежит на прямой $AB$, вектор $\vec{AH}$ коллинеарен вектору $\vec{AB}$. Это означает, что существует такое число $k$, что выполняется равенство:$\vec{AH} = k \cdot \vec{AB}$.Число $k$ показывает, какую долю составляет длина отрезка $AH$ от длины отрезка $AB$.

Так как $DH$ является перпендикуляром к прямой $AB$, вектор $\vec{DH}$ перпендикулярен вектору $\vec{AB}$. Следовательно, их скалярное произведение равно нулю:$\vec{DH} \cdot \vec{AB} = 0$.

Выразим вектор $\vec{DH}$ через векторы, которые можно найти по координатам точек. Используя правило сложения векторов (правило треугольника), имеем:$\vec{DH} = \vec{DA} + \vec{AH}$.

Заменим $\vec{AH}$ на $k \cdot \vec{AB}$ и $\vec{DA}$ на $-\vec{AD}$:$\vec{DH} = -\vec{AD} + k \cdot \vec{AB}$.

Подставим это выражение в условие перпендикулярности:$(-\vec{AD} + k \cdot \vec{AB}) \cdot \vec{AB} = 0$.

Раскроем скобки, используя дистрибутивность скалярного произведения:$-\vec{AD} \cdot \vec{AB} + k \cdot (\vec{AB} \cdot \vec{AB}) = 0$.Зная, что $\vec{AB} \cdot \vec{AB} = |\vec{AB}|^2$, получаем:$-\vec{AD} \cdot \vec{AB} + k \cdot |\vec{AB}|^2 = 0$.

Из этого уравнения выразим коэффициент $k$:$k = \frac{\vec{AD} \cdot \vec{AB}}{|\vec{AB}|^2}$.

Найдем координаты векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$, используя координаты заданных точек $A(4; 13)$, $B(0; -7)$ и $D(-3; 4)$.

Координаты вектора $\vec{AD}$:$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A) = (-3 - 4; 4 - 13) = (-7; -9)$.

Координаты вектора $\vec{AB}$:$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (0 - 4; -7 - 13) = (-4; -20)$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{AD} \cdot \vec{AB}$:$\vec{AD} \cdot \vec{AB} = (-7) \cdot (-4) + (-9) \cdot (-20) = 28 + 180 = 208$.

Вычислим квадрат длины вектора $\vec{AB}$:$|\vec{AB}|^2 = (-4)^2 + (-20)^2 = 16 + 400 = 416$.

Теперь можем найти значение $k$:$k = \frac{208}{416} = \frac{1}{2}$.

Значение $k = \frac{1}{2}$ означает, что $\vec{AH} = \frac{1}{2} \vec{AB}$, то есть точка $H$ является серединой отрезка $AB$.

Искомое отношение, в котором точка $H$ делит отрезок $AB$, это $\lambda = AH : HB$.Поскольку $H$ — середина отрезка, то $AH = HB$, и их отношение равно $1$.$\lambda = \frac{AH}{HB} = 1$.

Таким образом, основание перпендикуляра делит отрезок $AB$ в отношении $1:1$.

Ответ: $1:1$.