Страница 67 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.192. Из точки $D(-3; 4)$ опущен перпендикуляр на прямую, проходящую через точки $A(4; 13)$ и $B(0; -7)$. В каком отношении основание этого перпендикуляра делит отрезок $AB$?

Для решения задачи найдем отношение, в котором основание перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на прямую $AB$, делит отрезок $AB$. Обозначим основание перпендикуляра как точку $H$.

Поскольку точка $H$ лежит на прямой $AB$, вектор $\vec{AH}$ коллинеарен вектору $\vec{AB}$. Это означает, что существует такое число $k$, что выполняется равенство:$\vec{AH} = k \cdot \vec{AB}$.Число $k$ показывает, какую долю составляет длина отрезка $AH$ от длины отрезка $AB$.

Так как $DH$ является перпендикуляром к прямой $AB$, вектор $\vec{DH}$ перпендикулярен вектору $\vec{AB}$. Следовательно, их скалярное произведение равно нулю:$\vec{DH} \cdot \vec{AB} = 0$.

Выразим вектор $\vec{DH}$ через векторы, которые можно найти по координатам точек. Используя правило сложения векторов (правило треугольника), имеем:$\vec{DH} = \vec{DA} + \vec{AH}$.

Заменим $\vec{AH}$ на $k \cdot \vec{AB}$ и $\vec{DA}$ на $-\vec{AD}$:$\vec{DH} = -\vec{AD} + k \cdot \vec{AB}$.

Подставим это выражение в условие перпендикулярности:$(-\vec{AD} + k \cdot \vec{AB}) \cdot \vec{AB} = 0$.

Раскроем скобки, используя дистрибутивность скалярного произведения:$-\vec{AD} \cdot \vec{AB} + k \cdot (\vec{AB} \cdot \vec{AB}) = 0$.Зная, что $\vec{AB} \cdot \vec{AB} = |\vec{AB}|^2$, получаем:$-\vec{AD} \cdot \vec{AB} + k \cdot |\vec{AB}|^2 = 0$.

Из этого уравнения выразим коэффициент $k$:$k = \frac{\vec{AD} \cdot \vec{AB}}{|\vec{AB}|^2}$.

Найдем координаты векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$, используя координаты заданных точек $A(4; 13)$, $B(0; -7)$ и $D(-3; 4)$.

Координаты вектора $\vec{AD}$:$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A) = (-3 - 4; 4 - 13) = (-7; -9)$.

Координаты вектора $\vec{AB}$:$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (0 - 4; -7 - 13) = (-4; -20)$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{AD} \cdot \vec{AB}$:$\vec{AD} \cdot \vec{AB} = (-7) \cdot (-4) + (-9) \cdot (-20) = 28 + 180 = 208$.

Вычислим квадрат длины вектора $\vec{AB}$:$|\vec{AB}|^2 = (-4)^2 + (-20)^2 = 16 + 400 = 416$.

Теперь можем найти значение $k$:$k = \frac{208}{416} = \frac{1}{2}$.

Значение $k = \frac{1}{2}$ означает, что $\vec{AH} = \frac{1}{2} \vec{AB}$, то есть точка $H$ является серединой отрезка $AB$.

Искомое отношение, в котором точка $H$ делит отрезок $AB$, это $\lambda = AH : HB$.Поскольку $H$ — середина отрезка, то $AH = HB$, и их отношение равно $1$.$\lambda = \frac{AH}{HB} = 1$.

Таким образом, основание перпендикуляра делит отрезок $AB$ в отношении $1:1$.

Ответ: $1:1$.

1.193. Напишите уравнение сторон квадрата, одна вершина которого находится в точке $A(2; -4)$, а центр - в точке $K(5; 2)$.

Для нахождения уравнений сторон квадрата воспользуемся его геометрическими свойствами. Центр квадрата является точкой пересечения его диагоналей и делит их пополам. Диагонали квадрата перпендикулярны. Стороны квадрата образуют с диагоналями угол в $45^\circ$.

Даны вершина квадрата $A(2; -4)$ и его центр $K(5; 2)$.

1. Нахождение координат противоположной вершины.

Пусть вершины квадрата обозначены как A, B, C, D. Вершина C находится напротив вершины A, а центр K является серединой диагонали AC. Используем формулы для координат середины отрезка, чтобы найти координаты точки $C(x_C; y_C)$:

$x_K = \frac{x_A + x_C}{2} \Rightarrow 5 = \frac{2 + x_C}{2} \Rightarrow 10 = 2 + x_C \Rightarrow x_C = 8$

$y_K = \frac{y_A + y_C}{2} \Rightarrow 2 = \frac{-4 + y_C}{2} \Rightarrow 4 = -4 + y_C \Rightarrow y_C = 8$

Таким образом, координаты вершины C: $(8; 8)$.

2. Нахождение нормальных векторов сторон.

Стороны квадрата, проходящие через вершину A, образуют угол $45^\circ$ с диагональю AC. Мы можем найти нормальные векторы этих сторон.

Сначала найдем направляющий вектор диагонали AC:

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (8 - 2; 8 - (-4)) = (6; 12)$.

Для удобства возьмем коллинеарный ему вектор с меньшими координатами: $\vec{d} = (1; 2)$.

Пусть нормальный вектор одной из сторон, проходящих через A, имеет координаты $\vec{n} = (a; b)$. Угол $\theta$ между вектором $\vec{n}$ и вектором $\vec{d}$ равен $45^\circ$ или $135^\circ$, поэтому $\cos\theta = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Используем формулу косинуса угла между векторами:

$\cos\theta = \frac{\vec{n} \cdot \vec{d}}{|\vec{n}| |\vec{d}|} = \frac{a \cdot 1 + b \cdot 2}{\sqrt{a^2+b^2} \sqrt{1^2+2^2}} = \frac{a + 2b}{\sqrt{5}\sqrt{a^2+b^2}}$

Приравниваем к $\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$ и возводим в квадрат:

$\left(\frac{a + 2b}{\sqrt{5}\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2 = \left(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \Rightarrow \frac{(a + 2b)^2}{5(a^2+b^2)} = \frac{1}{2}$

$2(a^2 + 4ab + 4b^2) = 5(a^2 + b^2)$

$2a^2 + 8ab + 8b^2 = 5a^2 + 5b^2$

$3a^2 - 8ab - 3b^2 = 0$

Разделим уравнение на $b^2$ (полагая $b \ne 0$) и решим квадратное уравнение относительно $\frac{a}{b}$:

$3\left(\frac{a}{b}\right)^2 - 8\left(\frac{a}{b}\right) - 3 = 0$

Корни этого уравнения: $\frac{a}{b} = 3$ и $\frac{a}{b} = -\frac{1}{3}$.

Отсюда получаем два нормальных вектора для двух пар перпендикулярных сторон квадрата:

• При $\frac{a}{b}=3$ можем взять $a=3, b=1$. Нормальный вектор $\vec{n}_1 = (3; 1)$.
• При $\frac{a}{b}=-\frac{1}{3}$ можем взять $a=1, b=-3$. Нормальный вектор $\vec{n}_2 = (1; -3)$.

3. Составление уравнений сторон квадрата.

Две стороны квадрата проходят через точку $A(2; -4)$, а две другие, им параллельные, — через точку $C(8; 8)$.

Уравнение прямой с нормальным вектором $\vec{n}=(A, B)$, проходящей через точку $(x_0, y_0)$, имеет вид $A(x-x_0) + B(y-y_0) = 0$.

Стороны, проходящие через A(2; -4):

Сторона 1 (с нормалью $\vec{n}_1 = (3; 1)$):

$3(x - 2) + 1(y - (-4)) = 0 \Rightarrow 3x - 6 + y + 4 = 0 \Rightarrow 3x + y - 2 = 0$.

Сторона 2 (с нормалью $\vec{n}_2 = (1; -3)$):

$1(x - 2) - 3(y - (-4)) = 0 \Rightarrow x - 2 - 3y - 12 = 0 \Rightarrow x - 3y - 14 = 0$.

Стороны, проходящие через C(8; 8):

Сторона 3 (параллельна стороне 1, нормаль $\vec{n}_1 = (3; 1)$):

$3(x - 8) + 1(y - 8) = 0 \Rightarrow 3x - 24 + y - 8 = 0 \Rightarrow 3x + y - 32 = 0$.

Сторона 4 (параллельна стороне 2, нормаль $\vec{n}_2 = (1; -3)$):

$1(x - 8) - 3(y - 8) = 0 \Rightarrow x - 8 - 3y + 24 = 0 \Rightarrow x - 3y + 16 = 0$.

Ответ: Уравнения сторон квадрата:

$3x + y - 2 = 0$

$x - 3y - 14 = 0$

$3x + y - 32 = 0$

$x - 3y + 16 = 0$

1.194. Покажите, что уравнение прямой, отсекающей на координатных осях отрезки, равные $|a|$ и $|b|$, задается равенством

$ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1. $

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках.

Условие задачи гласит, что прямая отсекает на координатных осях отрезки, равные по длине $|a|$ и $|b|$. Это означает, что прямая пересекает ось абсцисс (Ox) в точке с координатой $x=a$ и ось ординат (Oy) в точке с координатой $y=b$. Таким образом, прямая проходит через две точки: $A(a, 0)$ и $B(0, b)$. Для того чтобы уравнение имело смысл, необходимо, чтобы $a \neq 0$ и $b \neq 0$, то есть прямая не проходит через начало координат и не параллельна ни одной из осей.

Визуальное представление данной прямой на координатной плоскости (для случая $a > 0$ и $b > 0$):

Для вывода уравнения прямой воспользуемся каноническим уравнением прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $$ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} $$

Подставим в эту формулу координаты наших точек $A(a, 0)$ (где $x_1=a, y_1=0$) и $B(0, b)$ (где $x_2=0, y_2=b$): $$ \frac{x - a}{0 - a} = \frac{y - 0}{b - 0} $$

Упростим полученное равенство: $$ \frac{x - a}{-a} = \frac{y}{b} $$

Теперь выполним почленное деление дроби в левой части уравнения: $$ \frac{x}{-a} - \frac{a}{-a} = \frac{y}{b} $$ $$ -\frac{x}{a} + 1 = \frac{y}{b} $$

Перенесем слагаемое $-\frac{x}{a}$ в правую часть уравнения, чтобы привести его к требуемому виду: $$ 1 = \frac{x}{a} + \frac{y}{b} $$

Таким образом, мы показали, что уравнение прямой, отсекающей на осях Ox и Oy отрезки $a$ и $b$, действительно имеет вид $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

Проверка
Для полной уверенности можно проверить, удовлетворяют ли точки $A(a, 0)$ и $B(0, b)$ полученному уравнению.
1. Подставляем координаты точки $A(a, 0)$: $$ \frac{a}{a} + \frac{0}{b} = 1 + 0 = 1 $$ Равенство $1=1$ истинно, значит точка $A$ лежит на прямой.
2. Подставляем координаты точки $B(0, b)$: $$ \frac{0}{a} + \frac{b}{b} = 0 + 1 = 1 $$ Равенство $1=1$ истинно, значит точка $B$ лежит на прямой.
Поскольку обе точки принадлежат прямой, полученное уравнение верно.

Ответ: Доказано, что уравнение прямой, отсекающей на координатных осях отрезки, равные $|a|$ и $|b|$, задается равенством $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

1.195. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $A(8; 6)$ и отсекающей от координатного угла треугольник, площадь которого равна $12$.

Для решения задачи воспользуемся уравнением прямой в отрезках, которое имеет вид:

$ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 $

Здесь $a$ и $b$ — это величины отрезков, которые прямая отсекает на осях Ox и Oy соответственно. Прямая пересекает ось Ox в точке $(a, 0)$ и ось Oy в точке $(0, b)$.

Треугольник, отсекаемый прямой от координатного угла, является прямоугольным с вершинами в точках $(0, 0)$, $(a, 0)$ и $(0, b)$. Его катеты равны $|a|$ и $|b|$.

Площадь $S$ этого треугольника вычисляется по формуле:

$ S = \frac{1}{2} |a| \cdot |b| $

По условию задачи, площадь равна 12:

$ \frac{1}{2} |ab| = 12 \implies |ab| = 24 $

Также известно, что прямая проходит через точку $A(8; 6)$. Следовательно, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению прямой:

$ \frac{8}{a} + \frac{6}{b} = 1 $

Приведем это уравнение к общему знаменателю:

$ \frac{8b + 6a}{ab} = 1 \implies 8b + 6a = ab $

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$. Рассмотрим возможные случаи, исходя из соотношения $|ab|=24$.

Случай 1: Прямая отсекает отрезки в первом координатном углу ($a > 0, b > 0$)

В этом случае $ab = 24$. Подставим это значение в уравнение $8b + 6a = ab$:

$ 8b + 6a = 24 $

Из $ab = 24$ выразим $b = \frac{24}{a}$ и подставим в полученное уравнение:

$ 8\left(\frac{24}{a}\right) + 6a = 24 $

$ \frac{192}{a} + 6a = 24 $

Разделим обе части на 6:

$ \frac{32}{a} + a = 4 $

Умножим на $a$ (поскольку $a > 0$, то $a \ne 0$):

$ 32 + a^2 = 4a $

$ a^2 - 4a + 32 = 0 $

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:

$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 16 - 128 = -112 $

Так как $D < 0$, действительных решений для $a$ нет. Это означает, что не существует прямой с положительными отрезками на осях, которая удовлетворяла бы условиям задачи.

Случай 2: Отрезки на осях имеют разные знаки ($a > 0, b < 0$ или $a < 0, b > 0$)

В обоих этих подслучаях $ab = -24$. Подставим это значение в уравнение $8b + 6a = ab$:

$ 8b + 6a = -24 $

Из $ab = -24$ выразим $b = -\frac{24}{a}$ и подставим в уравнение:

$ 8\left(-\frac{24}{a}\right) + 6a = -24 $

$ -\frac{192}{a} + 6a = -24 $

Разделим обе части на 6:

$ -\frac{32}{a} + a = -4 $

Умножим на $a$ ($a \ne 0$):

$ -32 + a^2 = -4a $

$ a^2 + 4a - 32 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144 = 12^2$.

Корни уравнения для $a$:

$ a_1 = \frac{-4 + 12}{2} = 4 $

$ a_2 = \frac{-4 - 12}{2} = -8 $

Найдем соответствующие значения $b$ для каждого корня и запишем уравнения прямых.

Решение 1:

Если $a = 4$ (что соответствует $a > 0$), то $b = -\frac{24}{a} = -\frac{24}{4} = -6$. Это соответствует подслучаю $b < 0$.

Уравнение прямой: $ \frac{x}{4} + \frac{y}{-6} = 1 $.

Приведем к общему виду $Ax+By+C=0$. Умножим на 12:

$ 3x - 2y = 12 \implies 3x - 2y - 12 = 0 $.

Решение 2:

Если $a = -8$ (что соответствует $a < 0$), то $b = -\frac{24}{a} = -\frac{24}{-8} = 3$. Это соответствует подслучаю $b > 0$.

Уравнение прямой: $ \frac{x}{-8} + \frac{y}{3} = 1 $.

Приведем к общему виду. Умножим на -24:

$ 3x - 8y = -24 \implies 3x - 8y + 24 = 0 $.

Случай 3: Оба отрезка отрицательны ($a < 0, b < 0$)

В этом случае уравнение $ \frac{8}{a} + \frac{6}{b} = 1 $ не может иметь решений, так как слева стоит сумма двух отрицательных чисел ( $8/a < 0$ и $6/b < 0$ ), а справа — положительное число 1. Таким образом, этот случай невозможен.

Итак, мы нашли два возможных уравнения прямой, удовлетворяющих условиям задачи.

Ответ: $3x - 2y - 12 = 0$ и $3x - 8y + 24 = 0$.

1.196. Покажите, что угол $ \varphi $ между прямыми $ y=k_1x+b_1 $ и $ y=k_2x+b_2 $ определяется по формуле

$ \text{tg}\varphi = \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} $

Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$.

Геометрический смысл углового коэффициента $k$ заключается в том, что он равен тангенсу угла наклона $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс (оси Ox). Следовательно, для данных прямых мы можем записать:

$k_1 = \text{tg} \alpha_1$

$k_2 = \text{tg} \alpha_2$

где $\alpha_1$ и $\alpha_2$ — это углы наклона первой и второй прямых соответственно. Угол $\varphi$ между этими двумя прямыми можно найти через разность углов их наклона.

Рассмотрим графическое представление. Угол $\varphi$, образованный при пересечении двух прямых $l_1$ и $l_2$, связан с их углами наклона $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

На рисунке показаны прямые $l_1$ и $l_2$, пересекающиеся в точке P. Проведем через некоторую точку горизонтальную прямую, которую наши прямые пересекут в точках A и B. В образовавшемся треугольнике PAB, угол при вершине B равен углу наклона $\alpha_1$ прямой $l_1$. Угол $\alpha_2$ является внешним углом треугольника при вершине A.

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В нашем случае:

$\alpha_2 = \alpha_1 + \varphi$

Из этого соотношения мы можем выразить искомый угол $\varphi$:

$\varphi = \alpha_2 - \alpha_1$

Теперь, чтобы найти тангенс угла $\varphi$, воспользуемся тригонометрической формулой тангенса разности двух углов:

$\text{tg}(\alpha_2 - \alpha_1) = \frac{\text{tg} \alpha_2 - \text{tg} \alpha_1}{1 + \text{tg} \alpha_1 \text{tg} \alpha_2}$

Подставим в эту формулу ранее определенные соотношения $k_1 = \text{tg} \alpha_1$ и $k_2 = \text{tg} \alpha_2$:

$\text{tg} \varphi = \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2}$

Эта формула и определяет тангенс угла между двумя прямыми. Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула $\text{tg}\varphi = \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2}$ доказана.

1.197. Докажите, что прямые $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2x+b_2$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $k_1 = -\frac{1}{k_2}$.

Для доказательства утверждения, что прямые $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2x+b_2$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $k_1 = -\frac{1}{k_2}$, мы воспользуемся методами аналитической геометрии.

Условие перпендикулярности двух прямых зависит только от угла между ними. Угол, в свою очередь, определяется их угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$. Свободные члены $b_1$ и $b_2$ влияют лишь на параллельный перенос прямых в плоскости, не изменяя угла между ними. Поэтому для доказательства достаточно рассмотреть две прямые, параллельные данным, но проходящие через начало координат: $l_1: y=k_1x$ и $l_2: y=k_2x$. Исходные прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда перпендикулярны эти две прямые, проходящие через начало координат.

Каждую прямую вида $y=kx$, проходящую через начало координат, можно охарактеризовать направляющим вектором. Если мы возьмем на прямой точку с абсциссой $x=1$, то ее ордината будет равна $y=k$. Таким образом, вектор, соединяющий начало координат $(0,0)$ с точкой $(1,k)$, является направляющим вектором для прямой $y=kx$.

Следовательно, направляющий вектор для прямой $l_1$ есть $\vec{v_1} = (1, k_1)$.

А направляющий вектор для прямой $l_2$ есть $\vec{v_2} = (1, k_2)$.

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы перпендикулярны (ортогональны). В свою очередь, два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 1 \cdot 1 + k_1 \cdot k_2 = 1 + k_1k_2$

Условие перпендикулярности векторов $\vec{v_1} \perp \vec{v_2}$ эквивалентно равенству $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.

Таким образом, условие перпендикулярности прямых $l_1$ и $l_2$ эквивалентно равенству:

$1 + k_1k_2 = 0$

Это равенство можно переписать в виде:

$k_1k_2 = -1$

Если предположить, что $k_2 \neq 0$ (то есть прямая $l_2$ не является горизонтальной), то можно разделить обе части равенства на $k_2$:

$k_1 = -\frac{1}{k_2}$

Так как каждый шаг в нашем рассуждении был основан на критерии "тогда и только тогда" (эквивалентности), мы доказали утверждение в обе стороны. Прямые, заданные уравнениями с угловым коэффициентом, перпендикулярны в том и только в том случае, когда произведение их угловых коэффициентов равно -1.

Стоит отметить, что это доказательство предполагает, что обе прямые не являются вертикальными (поскольку для вертикальной прямой угловой коэффициент не определен). Условие $k_1k_2=-1$ также подразумевает, что ни один из коэффициентов не может быть равен нулю, то есть ни одна из прямых не является горизонтальной. Если одна прямая горизонтальна ($k_1=0$), то перпендикулярная ей прямая будет вертикальной, и для нее уравнение вида $y=kx+b$ не применимо.

Ответ: Утверждение доказано.

1.198. Напишите уравнение биссектрисы угла между прямыми $a_1 x+b_1 y+c_1=0$ и $a_2 x+b_2 y+c_2=0$ $(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2})$.

Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла. Пусть даны две пересекающиеся прямые $l_1$, заданная уравнением $a_1x+b_1y+c_1=0$, и $l_2$, заданная уравнением $a_2x+b_2y+c_2=0$. Условие $ \frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2} $ гарантирует, что прямые пересекаются.

Для любой точки $M(x, y)$, принадлежащей биссектрисе, расстояние от $M$ до прямой $l_1$ равно расстоянию от $M$ до прямой $l_2$. Расстояние от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$ находится по формуле:

$d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Приравнивая расстояния от произвольной точки биссектрисы $M(x, y)$ до заданных прямых, получаем:

$\frac{|a_1x+b_1y+c_1|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}} = \frac{|a_2x+b_2y+c_2|}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$

Это уравнение описывает совокупность всех точек, равноудаленных от двух прямых. Раскрывая модули (учитывая, что равенство $|A| = |B|$ эквивалентно $A = B$ или $A = -B$), мы получаем уравнения двух взаимно перпендикулярных прямых, которые являются биссектрисами углов, образованных пересечением исходных прямых. Эти уравнения можно записать так:

$\frac{a_1x+b_1y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}} = \frac{a_2x+b_2y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$ и $\frac{a_1x+b_1y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}} = -\frac{a_2x+b_2y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$

Оба уравнения можно объединить в одну общую формулу.

Ответ: $\frac{a_1x+b_1y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}} = \pm \frac{a_2x+b_2y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$

1.199. Напишите уравнение биссектрисы угла между прямыми:

1) $x-3y+2=0$ и $3x+y-1=0$;

2) $\sqrt{3}y-x=12$ и $3x+4y=15$.

Биссектриса угла между двумя прямыми — это геометрическое место точек, равноудаленных от этих прямых. Если уравнения прямых заданы в общем виде $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, то уравнение биссектрис их углов имеет вид: $$ \frac{A_1x + B_1y + C_1}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \pm \frac{A_2x + B_2y + C_2}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}} $$ Это уравнение распадается на два, которые определяют две взаимно перпендикулярные биссектрисы, делящие углы между прямыми пополам.

1) Даны прямые $x-3y+2=0$ и $3x+y-1=0$.

Для этих прямых коэффициенты равны: $A_1=1, B_1=-3, C_1=2$ и $A_2=3, B_2=1, C_2=-1$.

Найдем нормирующие множители (знаменатели в формуле): $$ \sqrt{A_1^2 + B_1^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10} $$ $$ \sqrt{A_2^2 + B_2^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10} $$

Подставим значения в общую формулу уравнения биссектрис: $$ \frac{x-3y+2}{\sqrt{10}} = \pm \frac{3x+y-1}{\sqrt{10}} $$ Так как знаменатели одинаковы, мы можем их сократить и получить: $$ x-3y+2 = \pm (3x+y-1) $$

Теперь рассмотрим два случая для получения уравнений двух биссектрис.

а) Раскрывая скобки со знаком "+", получаем первую биссектрису: $$ x-3y+2 = 3x+y-1 $$ $$ 2x+4y-3 = 0 $$

б) Раскрывая скобки со знаком "-", получаем вторую биссектрису: $$ x-3y+2 = -(3x+y-1) $$ $$ x-3y+2 = -3x-y+1 $$ $$ 4x-2y+1 = 0 $$

Ответ: $2x+4y-3=0$ и $4x-2y+1=0$.

2) Даны прямые $\sqrt{3}y-x=12$ и $3x+4y=15$.

Сначала приведем уравнения к общему виду $Ax+By+C=0$:
Первая прямая: $-x+\sqrt{3}y-12=0$. Здесь $A_1=-1, B_1=\sqrt{3}, C_1=-12$.
Вторая прямая: $3x+4y-15=0$. Здесь $A_2=3, B_2=4, C_2=-15$.

Найдем нормирующие множители: $$ \sqrt{A_1^2 + B_1^2} = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2 $$ $$ \sqrt{A_2^2 + B_2^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 $$

Подставим значения в формулу уравнения биссектрис: $$ \frac{-x+\sqrt{3}y-12}{2} = \pm \frac{3x+4y-15}{5} $$

Рассмотрим два случая.

а) Со знаком "+": $$ 5(-x+\sqrt{3}y-12) = 2(3x+4y-15) $$ $$ -5x+5\sqrt{3}y-60 = 6x+8y-30 $$ $$ 11x + (8-5\sqrt{3})y + 30 = 0 $$

б) Со знаком "-": $$ 5(-x+\sqrt{3}y-12) = -2(3x+4y-15) $$ $$ -5x+5\sqrt{3}y-60 = -6x-8y+30 $$ $$ x + (8+5\sqrt{3})y - 90 = 0 $$

Ответ: $11x + (8-5\sqrt{3})y + 30 = 0$ и $x + (8+5\sqrt{3})y - 90 = 0$.

1.200. Напишите уравнения:

1) медиан;

2) биссектрис;

3) высот треугольника, составленного из прямых $y=0$, $3x-4y=0$ и $4x+3y-50=0$.

Для решения задачи сначала найдем координаты вершин треугольника. Вершины являются точками пересечения прямых, образующих стороны треугольника.

Даны уравнения сторон:
$L_1: y = 0$
$L_2: 3x - 4y = 0$
$L_3: 4x + 3y - 50 = 0$

Найдем вершины треугольника:

Вершина A (пересечение $L_1$ и $L_2$):
$\begin{cases} y = 0 \\ 3x - 4y = 0 \end{cases} \Rightarrow 3x - 4(0) = 0 \Rightarrow 3x = 0 \Rightarrow x = 0$.
Координаты вершины A: $(0, 0)$.

Вершина B (пересечение $L_1$ и $L_3$):
$\begin{cases} y = 0 \\ 4x + 3y - 50 = 0 \end{cases} \Rightarrow 4x + 3(0) - 50 = 0 \Rightarrow 4x = 50 \Rightarrow x = 12.5$.
Координаты вершины B: $(12.5, 0)$.

Вершина C (пересечение $L_2$ и $L_3$):
$\begin{cases} 3x - 4y = 0 \\ 4x + 3y - 50 = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения выражаем $y$: $y = \frac{3}{4}x$. Подставляем во второе уравнение:
$4x + 3(\frac{3}{4}x) - 50 = 0 \Rightarrow 4x + \frac{9}{4}x - 50 = 0 \Rightarrow \frac{16x + 9x}{4} = 50 \Rightarrow \frac{25x}{4} = 50 \Rightarrow 25x = 200 \Rightarrow x = 8$.
Находим $y$: $y = \frac{3}{4}(8) = 6$.
Координаты вершины C: $(8, 6)$.

Итак, вершины треугольника: $A(0, 0)$, $B(12.5, 0)$, $C(8, 6)$.

1) медиан

Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Сначала найдем координаты середин сторон треугольника.
Середина $M_{BC}$ стороны BC: $M_{BC} = (\frac{12.5 + 8}{2}, \frac{0 + 6}{2}) = (\frac{20.5}{2}, 3) = (10.25, 3)$.
Середина $M_{AC}$ стороны AC: $M_{AC} = (\frac{0 + 8}{2}, \frac{0 + 6}{2}) = (4, 3)$.
Середина $M_{AB}$ стороны AB: $M_{AB} = (\frac{0 + 12.5}{2}, \frac{0 + 0}{2}) = (\frac{12.5}{2}, 0) = (6.25, 0)$.

Теперь составим уравнения медиан, используя формулу уравнения прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $\frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1}$.
Медиана из вершины A(0, 0) к $M_{BC}(10.25, 3)$:
$\frac{y - 0}{3 - 0} = \frac{x - 0}{10.25 - 0} \Rightarrow \frac{y}{3} = \frac{x}{10.25} \Rightarrow 10.25y = 3x \Rightarrow \frac{41}{4}y = 3x \Rightarrow 41y = 12x \Rightarrow 12x - 41y = 0$.
Медиана из вершины B(12.5, 0) к $M_{AC}(4, 3)$:
$\frac{y - 0}{3 - 0} = \frac{x - 12.5}{4 - 12.5} \Rightarrow \frac{y}{3} = \frac{x - 12.5}{-8.5} \Rightarrow -8.5y = 3(x - 12.5) \Rightarrow -\frac{17}{2}y = 3x - 37.5 \Rightarrow -17y = 6x - 75 \Rightarrow 6x + 17y - 75 = 0$.
Медиана из вершины C(8, 6) к $M_{AB}(6.25, 0)$:
$\frac{y - 6}{0 - 6} = \frac{x - 8}{6.25 - 8} \Rightarrow \frac{y - 6}{-6} = \frac{x - 8}{-1.75} \Rightarrow -1.75(y-6) = -6(x-8) \Rightarrow \frac{7}{4}(y-6) = 6(x-8) \Rightarrow 7(y-6) = 24(x-8) \Rightarrow 7y - 42 = 24x - 192 \Rightarrow 24x - 7y - 150 = 0$.

Ответ: уравнения медиан: $12x - 41y = 0$, $6x + 17y - 75 = 0$, $24x - 7y - 150 = 0$.

2) биссектрис

Уравнение биссектрис угла между прямыми $A_1x+B_1y+C_1=0$ и $A_2x+B_2y+C_2=0$ находится по формуле:
$\frac{A_1x+B_1y+C_1}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}} = \pm \frac{A_2x+B_2y+C_2}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}$.
Стороны треугольника: AB ($y=0$), AC ($3x-4y=0$), BC ($4x+3y-50=0$).

Биссектриса угла A (между $y=0$ и $3x-4y=0$):
$\frac{y}{\sqrt{0^2+1^2}} = \pm \frac{3x-4y}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} \Rightarrow y = \pm \frac{3x-4y}{5}$.
Две биссектрисы: $x-3y=0$ и $3x+y=0$. Угловой коэффициент стороны AC ($y=3/4x$) равен $3/4$, стороны AB ($y=0$) равен $0$. Угловой коэффициент прямой $x-3y=0$ ($y=x/3$) равен $1/3$. Так как $0 < 1/3 < 3/4$, эта прямая лежит внутри угла A и является внутренней биссектрисой.
Уравнение биссектрисы угла A: $x - 3y = 0$.

Биссектриса угла B (между $y=0$ и $4x+3y-50=0$):
$\frac{y}{1} = \pm \frac{4x+3y-50}{\sqrt{4^2+3^2}} \Rightarrow 5y = \pm (4x+3y-50)$.
Две биссектрисы: $2x-y-25=0$ и $2x+4y-25=0$. Для определения внутренней биссектрисы подставим координаты вершин A(0,0) и C(8,6) (не лежащих на угле B). Для внутренней биссектрисы знаки должны быть разными.
Для $2x+4y-25=0$: A(0,0) дает $2(0)+4(0)-25=-25$, а C(8,6) дает $2(8)+4(6)-25 = 16+24-25=15$. Знаки разные, значит это внутренняя биссектриса.
Уравнение биссектрисы угла B: $2x + 4y - 25 = 0$.

Биссектриса угла C (между $3x-4y=0$ и $4x+3y-50=0$):
$\frac{3x-4y}{5} = \pm \frac{4x+3y-50}{5} \Rightarrow 3x-4y = \pm(4x+3y-50)$.
Две биссектрисы: $x+7y-50=0$ и $7x-y-50=0$. Проверим знаки для вершин A(0,0) и B(12.5,0).
Для $7x-y-50=0$: A(0,0) дает $7(0)-0-50=-50$, а B(12.5,0) дает $7(12.5)-0-50 = 87.5-50=37.5$. Знаки разные, значит это внутренняя биссектриса.
Уравнение биссектрисы угла C: $7x - y - 50 = 0$.

Ответ: уравнения биссектрис: $x - 3y = 0$, $2x + 4y - 25 = 0$, $7x - y - 50 = 0$.

3) высот

Высота — это перпендикуляр из вершины на противоположную сторону.
Найдем угловые коэффициенты сторон:
$L_1: y=0 \Rightarrow k_1 = 0$.
$L_2: 3x-4y=0 \Rightarrow y=\frac{3}{4}x \Rightarrow k_2 = \frac{3}{4}$.
$L_3: 4x+3y-50=0 \Rightarrow y=-\frac{4}{3}x+\frac{50}{3} \Rightarrow k_3 = -\frac{4}{3}$.

Поскольку произведение угловых коэффициентов сторон AC ($L_2$) и BC ($L_3$) равно $k_2 \cdot k_3 = \frac{3}{4} \cdot (-\frac{4}{3}) = -1$, эти стороны перпендикулярны. Следовательно, треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине C.

Высота из вершины A на сторону BC: Так как $AC \perp BC$, высота совпадает со стороной AC. Ее уравнение: $3x - 4y = 0$.
Высота из вершины B на сторону AC: Так как $BC \perp AC$, высота совпадает со стороной BC. Ее уравнение: $4x + 3y - 50 = 0$.
Высота из вершины C на сторону AB: Сторона AB лежит на оси Ox ($y=0$). Высота к ней будет вертикальной прямой, проходящей через точку C(8, 6). Уравнение такой прямой $x=8$. В общем виде: $x - 8 = 0$.

Ответ: уравнения высот: $3x - 4y = 0$, $4x + 3y - 50 = 0$, $x - 8 = 0$.