Номер 1.199, страница 67 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.199. Напишите уравнение биссектрисы угла между прямыми:

1) $x-3y+2=0$ и $3x+y-1=0$;

2) $\sqrt{3}y-x=12$ и $3x+4y=15$.

Биссектриса угла между двумя прямыми — это геометрическое место точек, равноудаленных от этих прямых. Если уравнения прямых заданы в общем виде $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, то уравнение биссектрис их углов имеет вид: $$ \frac{A_1x + B_1y + C_1}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \pm \frac{A_2x + B_2y + C_2}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}} $$ Это уравнение распадается на два, которые определяют две взаимно перпендикулярные биссектрисы, делящие углы между прямыми пополам.

1) Даны прямые $x-3y+2=0$ и $3x+y-1=0$.

Для этих прямых коэффициенты равны: $A_1=1, B_1=-3, C_1=2$ и $A_2=3, B_2=1, C_2=-1$.

Найдем нормирующие множители (знаменатели в формуле): $$ \sqrt{A_1^2 + B_1^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10} $$ $$ \sqrt{A_2^2 + B_2^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10} $$

Подставим значения в общую формулу уравнения биссектрис: $$ \frac{x-3y+2}{\sqrt{10}} = \pm \frac{3x+y-1}{\sqrt{10}} $$ Так как знаменатели одинаковы, мы можем их сократить и получить: $$ x-3y+2 = \pm (3x+y-1) $$

Теперь рассмотрим два случая для получения уравнений двух биссектрис.

а) Раскрывая скобки со знаком "+", получаем первую биссектрису: $$ x-3y+2 = 3x+y-1 $$ $$ 2x+4y-3 = 0 $$

б) Раскрывая скобки со знаком "-", получаем вторую биссектрису: $$ x-3y+2 = -(3x+y-1) $$ $$ x-3y+2 = -3x-y+1 $$ $$ 4x-2y+1 = 0 $$

Ответ: $2x+4y-3=0$ и $4x-2y+1=0$.

2) Даны прямые $\sqrt{3}y-x=12$ и $3x+4y=15$.

Сначала приведем уравнения к общему виду $Ax+By+C=0$:
Первая прямая: $-x+\sqrt{3}y-12=0$. Здесь $A_1=-1, B_1=\sqrt{3}, C_1=-12$.
Вторая прямая: $3x+4y-15=0$. Здесь $A_2=3, B_2=4, C_2=-15$.

Найдем нормирующие множители: $$ \sqrt{A_1^2 + B_1^2} = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2 $$ $$ \sqrt{A_2^2 + B_2^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 $$

Подставим значения в формулу уравнения биссектрис: $$ \frac{-x+\sqrt{3}y-12}{2} = \pm \frac{3x+4y-15}{5} $$

Рассмотрим два случая.

а) Со знаком "+": $$ 5(-x+\sqrt{3}y-12) = 2(3x+4y-15) $$ $$ -5x+5\sqrt{3}y-60 = 6x+8y-30 $$ $$ 11x + (8-5\sqrt{3})y + 30 = 0 $$

б) Со знаком "-": $$ 5(-x+\sqrt{3}y-12) = -2(3x+4y-15) $$ $$ -5x+5\sqrt{3}y-60 = -6x-8y+30 $$ $$ x + (8+5\sqrt{3})y - 90 = 0 $$

Ответ: $11x + (8-5\sqrt{3})y + 30 = 0$ и $x + (8+5\sqrt{3})y - 90 = 0$.