Номер 1.201, страница 68 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.201. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята точка $K$. Докажите (векторным способом) неравенство $KC \cdot AB < KA \cdot BC + KB \cdot AC$.

Доказательство:

Введем векторы с началом в точке С: $\vec{CA} = \vec{a}$ и $\vec{CB} = \vec{b}$. Тогда длины сторон треугольника, исходящих из вершины C, равны $AC = |\vec{a}|$ и $BC = |\vec{b}|$. Вектор стороны AB выражается как $\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA} = \vec{b} - \vec{a}$, а его длина $AB = |\vec{b} - \vec{a}|$.

Поскольку точка K лежит на стороне AB, она делит отрезок AB в некотором отношении. Вектор $\vec{CK}$ можно выразить через векторы $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$. По правилу деления отрезка в заданном отношении (формула в векторной форме), вектор из вершины С в точку K на стороне AB можно записать как:

$\vec{CK} = \frac{KB}{AB}\vec{CA} + \frac{KA}{AB}\vec{CB}$

Используя наши обозначения, получаем:

$\vec{CK} = \frac{KB}{AB}\vec{a} + \frac{KA}{AB}\vec{b}$

Умножим обе части этого векторного равенства на скаляр $AB$ (длину стороны AB):

$AB \cdot \vec{CK} = AB \cdot \left(\frac{KB}{AB}\vec{a} + \frac{KA}{AB}\vec{b}\right)$

$AB \cdot \vec{CK} = KB \cdot \vec{a} + KA \cdot \vec{b}$

Теперь найдем модуль (длину) векторов в левой и правой частях равенства:

$|AB \cdot \vec{CK}| = |KA \cdot \vec{b} + KB \cdot \vec{a}|$

Так как $AB$ — это положительный скаляр (длина), то левая часть равна:

$|AB \cdot \vec{CK}| = AB \cdot |\vec{CK}| = AB \cdot KC$

К правой части применим неравенство треугольника для векторов: $|\vec{x} + \vec{y}| \le |\vec{x}| + |\vec{y}|$. В нашем случае $\vec{x} = KA \cdot \vec{b}$ и $\vec{y} = KB \cdot \vec{a}$.

$|KA \cdot \vec{b} + KB \cdot \vec{a}| \le |KA \cdot \vec{b}| + |KB \cdot \vec{a}|$

Поскольку $KA$ и $KB$ — это положительные скаляры (длины отрезков), то:

$|KA \cdot \vec{b}| = KA \cdot |\vec{b}| = KA \cdot BC$

$|KB \cdot \vec{a}| = KB \cdot |\vec{a}| = KB \cdot AC$

Подставив эти выражения, получаем:

$|KA \cdot \vec{b} + KB \cdot \vec{a}| \le KA \cdot BC + KB \cdot AC$

Объединяя результаты, мы приходим к неравенству:

$KC \cdot AB \le KA \cdot BC + KB \cdot AC$

Теперь рассмотрим случай, когда в этом выражении достигается равенство. Равенство в неравенстве треугольника $|\vec{x} + \vec{y}| = |\vec{x}| + |\vec{y}|$ выполняется тогда и только тогда, когда векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ коллинеарны и сонаправлены. В нашем случае это векторы $KA \cdot \vec{b}$ и $KB \cdot \vec{a}$.

Так как $KA > 0$ и $KB > 0$ (поскольку K лежит между A и B), это условие эквивалентно коллинеарности и сонаправленности векторов $\vec{b} = \vec{CB}$ и $\vec{a} = \vec{CA}$.

Векторы $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$ коллинеарны только в том случае, если точки A, B и C лежат на одной прямой. Однако по условию задачи ABC — это треугольник, что означает, что его вершины не лежат на одной прямой.

Следовательно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, и равенство в неравенстве треугольника невозможно. Таким образом, неравенство должно быть строгим:

$KC \cdot AB < KA \cdot BC + KB \cdot AC$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $KC \cdot AB < KA \cdot BC + KB \cdot AC$ доказано с использованием векторного метода.