Номер 1.205, страница 68 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.205. Точки $O_1$ и $O_2$ являются точками пересечения медиан треугольников $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ соответственно. Докажите тождество $3\vec{O_1O_2} = \vec{A_1A_2} + \vec{B_1B_2} + \vec{C_1C_2}$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством радиус-вектора точки пересечения медиан (центроида) треугольника. Радиус-вектор центроида треугольника равен одной трети от суммы радиус-векторов его вершин. Пусть $O$ — произвольная точка в пространстве (начало координат).

Точка $O_1$ является точкой пересечения медиан треугольника $A_1B_1C_1$. Следовательно, её радиус-вектор $\vec{OO_1}$ можно выразить через радиус-векторы вершин $A_1, B_1, C_1$:

$\vec{OO_1} = \frac{1}{3}(\vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1})$

Аналогично, для точки $O_2$, которая является точкой пересечения медиан треугольника $A_2B_2C_2$, её радиус-вектор $\vec{OO_2}$ выражается через радиус-векторы вершин $A_2, B_2, C_2$:

$\vec{OO_2} = \frac{1}{3}(\vec{OA_2} + \vec{OB_2} + \vec{OC_2})$

Теперь выразим вектор $\vec{O_1O_2}$. По правилу вычитания векторов:

$\vec{O_1O_2} = \vec{OO_2} - \vec{OO_1}$

Подставим в это равенство найденные выражения для $\vec{OO_1}$ и $\vec{OO_2}$:

$\vec{O_1O_2} = \frac{1}{3}(\vec{OA_2} + \vec{OB_2} + \vec{OC_2}) - \frac{1}{3}(\vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1})$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{3}$ за скобки и сгруппируем слагаемые:

$\vec{O_1O_2} = \frac{1}{3}[(\vec{OA_2} - \vec{OA_1}) + (\vec{OB_2} - \vec{OB_1}) + (\vec{OC_2} - \vec{OC_1})]$

Заметим, что разности радиус-векторов представляют собой векторы, соединяющие соответствующие вершины треугольников:

$\vec{OA_2} - \vec{OA_1} = \vec{A_1A_2}$

$\vec{OB_2} - \vec{OB_1} = \vec{B_1B_2}$

$\vec{OC_2} - \vec{OC_1} = \vec{C_1C_2}$

Подставим эти выражения в полученное равенство для $\vec{O_1O_2}$:

$\vec{O_1O_2} = \frac{1}{3}(\vec{A_1A_2} + \vec{B_1B_2} + \vec{C_1C_2})$

Наконец, умножим обе части тождества на 3:

$3\vec{O_1O_2} = \vec{A_1A_2} + \vec{B_1B_2} + \vec{C_1C_2}$

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество $3\vec{O_1O_2} = \vec{A_1A_2} + \vec{B_1B_2} + \vec{C_1C_2}$ доказано с использованием свойства радиус-вектора центроида треугольника.