Номер 2.2, страница 75 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.2. Всякий ли треугольник может иметь ось симметрии?

Какие треугольники могут иметь ось симметрии ?

Всякий ли треугольник может иметь ось симметрии?

Нет, не всякий треугольник имеет ось симметрии. Ось симметрии — это прямая, при отражении (зеркальном отображении) относительно которой фигура переходит сама в себя. Чтобы у треугольника была ось симметрии, необходимо, чтобы при отражении относительно этой оси вершины треугольника переходили в вершины этого же треугольника.

Рассмотрим разносторонний треугольник, то есть треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину. Такой треугольник не имеет осей симметрии. Если провести любую прямую через такой треугольник, то части, на которые эта прямая его разделит, не будут являться зеркальными отражениями друг друга.

На рисунке изображен разносторонний треугольник $\triangle ABC$. У него все стороны ($a, b, c$) и все углы разные. Такой треугольник не имеет осей симметрии.

Ответ: Нет, не всякий. Разносторонний треугольник (у которого все стороны разной длины) не имеет оси симметрии.

Какие треугольники могут иметь ось симметрии?

Ось симметрии имеют треугольники, у которых есть равные элементы (стороны или углы). Это равнобедренные и равносторонние треугольники.

1. Равнобедренный треугольник
Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием. Равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии. Эта ось является прямой, содержащей высоту, проведенную к основанию. Эта же прямая содержит медиану и биссектрису, проведенные к основанию.

На рисунке показан равнобедренный треугольник $\triangle ABC$ с основанием $BC$, у которого $AB=AC$. Прямая $AH$ (где $H$ — середина $BC$) является его осью симметрии. При отражении относительно этой прямой вершина $B$ переходит в вершину $C$, вершина $C$ — в $B$, а вершина $A$ и точка $H$ остаются на месте. Таким образом, треугольник отображается сам на себя.

2. Равносторонний (правильный) треугольник
Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. Он является частным случаем равнобедренного треугольника, поэтому у него есть оси симметрии. Так как у него равны все три стороны, он "равнобедренный" относительно любого из трех оснований. Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии. Каждая ось симметрии проходит через одну из вершин и середину противоположной стороны. Каждая из этих осей является одновременно высотой, медианой и биссектрисой.

На рисунке изображен равносторонний треугольник $\triangle ABC$. У него три оси симметрии (показаны пунктиром), каждая из которых является высотой, проведенной из вершины к противоположной стороне.

Ответ: Ось симметрии имеют равнобедренные и равносторонние треугольники. Равнобедренный треугольник (не являющийся равносторонним) имеет одну ось симметрии, а равносторонний — три.