Вопросы, страница 74 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое преобразование плоскости?

2. Что такое образ, прообраз фигуры?

3. Какое преобразование называется центральной симметрией? Что такое центр симметрии?

4. Всякая ли фигура имеет центр симметрии? Приведите пример.

5. Какие свойства центральной симметрии вы знаете? Как начало координат является центром симметрии, если задается центральная симметрия?

6. Какое преобразование называется осевой симметрией? Какую прямую называют осью симметрии?

7. Всякая ли фигура имеет ось симметрии? Приведите пример.

8. Какое свойство осевой симметрии вы знаете? Если одна из осей координат является осью симметрии, то как связаны между собой координаты симметричных точек?

1. Что такое преобразование плоскости?
Преобразованием плоскости называется правило (или закон), по которому каждой точке плоскости сопоставляется некоторая другая точка этой же плоскости. Иными словами, это функция, которая отображает множество точек плоскости на себя. Если обозначить плоскость как $P$, то преобразование $f$ — это отображение $f: P \rightarrow P$. Для каждой точки $M$ на плоскости существует единственная точка $M'$, в которую она переходит в результате данного преобразования.
Ответ: Преобразование плоскости — это правило, сопоставляющее каждой точке плоскости некоторую точку этой же плоскости.

2. Что такое образ, прообраз фигуры?
Пусть дано некоторое преобразование плоскости и фигура $F$.
Образ фигуры $F$ — это множество всех точек, в которые переходят точки фигуры $F$ при данном преобразовании. Если точка $M$ принадлежит фигуре $F$, а ее образом при преобразовании является точка $M'$, то фигура $F'$, состоящая из всех таких точек $M'$, называется образом фигуры $F$.
Прообраз фигуры $F'$ — это множество всех точек, образами которых являются точки фигуры $F'$. Если точка $M'$ принадлежит фигуре $F'$, и она является образом точки $M$, то фигура $F$, состоящая из всех таких точек $M$, называется прообразом фигуры $F'$.
Ответ: Образ фигуры — это фигура, в которую переходит исходная фигура при преобразовании. Прообраз фигуры — это исходная фигура, из которой была получена данная фигура в результате преобразования.

3. Какое преобразование называется центральной симметрией? Что такое центр симметрии?
Центральной симметрией относительно точки $O$ называется такое преобразование плоскости, при котором любая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что точка $O$ является серединой отрезка $MM'$.
Центр симметрии — это та самая фиксированная точка $O$, относительно которой выполняется преобразование. Сама точка $O$ при центральной симметрии переходит в себя.
Ответ: Центральная симметрия относительно точки $O$ — это преобразование, переводящее каждую точку $M$ в точку $M'$ так, что $O$ — середина отрезка $MM'$. Точка $O$ называется центром симметрии.

4. Всякая ли фигура имеет центр симметрии? Приведите пример.
Нет, не всякая фигура имеет центр симметрии.
Примеры фигур, имеющих центр симметрии:
• Окружность (центр симметрии — ее центр).
• Параллелограмм (центр симметрии — точка пересечения его диагоналей).
• Отрезок (центр симметрии — его середина).
• Прямая (центром симметрии является любая ее точка).
Примеры фигур, не имеющих центра симметрии:
• Произвольный треугольник.
• Трапеция.
• Луч.
Например, разносторонний треугольник не имеет центра симметрии:

Ответ: Нет, не всякая. Например, произвольный треугольник не имеет центра симметрии, а окружность имеет.

5. Какие свойства центральной симметрии вы знаете? Как начало координат является центром симметрии, если задается центральная симметрия?
Основные свойства центральной симметрии:
1. Центральная симметрия является движением (изометрией). Это означает, что она сохраняет расстояния между точками.
2. При центральной симметрии прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя, если она проходит через центр симметрии).
3. Отрезок переходит в равный и параллельный ему отрезок.
4. Центральная симметрия является инволюцией, то есть применение ее дважды возвращает каждую точку в ее исходное положение.

Если центром симметрии является начало координат $O(0, 0)$, то точка $M$ с координатами $(x, y)$ переходит в точку $M'$ с координатами $(x', y')$. Так как $O$ — середина отрезка $MM'$, то ее координаты равны полусуммам соответствующих координат точек $M$ и $M'$:
$0 = \frac{x + x'}{2} \implies x' = -x$
$0 = \frac{y + y'}{2} \implies y' = -y$
Таким образом, точка $M(x, y)$ переходит в точку $M'(-x, -y)$.
Ответ: Свойства: сохранение расстояний, параллельность прямых и их образов, инволютивность. Если центр симметрии — начало координат, то точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку с координатами $(-x, -y)$.

6. Какое преобразование называется осевой симметрией? Какую прямую называют осью симметрии?
Осевой симметрией относительно прямой $l$ называется такое преобразование плоскости, при котором любая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MM'$. Это значит, что отрезок $MM'$ перпендикулярен прямой $l$ и делится ею пополам.
Прямая $l$, относительно которой выполняется симметрия, называется осью симметрии. Каждая точка, лежащая на оси симметрии, переходит сама в себя.
Ответ: Осевая симметрия относительно прямой $l$ — это преобразование, переводящее каждую точку $M$ в точку $M'$ так, что прямая $l$ перпендикулярна отрезку $MM'$ и делит его пополам. Прямая $l$ называется осью симметрии.

7. Всякая ли фигура имеет ось симметрии? Приведите пример.
Нет, не всякая фигура имеет ось симметрии.
Примеры фигур, имеющих ось (или оси) симметрии:
• Равнобедренный треугольник (одна ось — высота, проведенная к основанию).
• Прямоугольник (две оси, проходящие через середины противоположных сторон).
• Окружность (бесконечно много осей — любая прямая, содержащая диаметр).
Примеры фигур, не имеющих оси симметрии:
• Разносторонний треугольник.
• Параллелограмм, не являющийся прямоугольником или ромбом.
Например, такой параллелограмм не имеет оси симметрии:

Ответ: Нет, не всякая. Например, параллелограмм общего вида не имеет оси симметрии, а равнобедренный треугольник имеет.

8. Какое свойство осевой симметрии вы знаете? Если одна из осей координат является осью симметрии, то как связаны между собой координаты симметричных точек?
Основные свойства осевой симметрии:
1. Осевая симметрия является движением (изометрией), то есть сохраняет расстояния.
2. Осевая симметрия — инволюция (применение дважды возвращает фигуру в исходное положение).
3. Осевая симметрия меняет ориентацию фигуры на противоположную (например, обход вершин по часовой стрелке меняется на обход против часовой стрелки).

Если осью симметрии является одна из координатных осей:
• Если ось симметрии — ось абсцисс (Ox), уравнение которой $y=0$, то точка $M(x, y)$ переходит в точку $M'(x, -y)$.
• Если ось симметрии — ось ординат (Oy), уравнение которой $x=0$, то точка $M(x, y)$ переходит в точку $M'(-x, y)$.
Ответ: Свойства: сохранение расстояний, изменение ориентации, инволютивность. При симметрии относительно оси Ox точка $(x, y)$ переходит в $(x, -y)$. При симметрии относительно оси Oy точка $(x, y)$ переходит в $(-x, y)$.