Номер 1.204, страница 68 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.204. Векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ не коллинеарны, а точка X определяется равенством $\vec{OX}=\alpha \vec{OA}+\beta \vec{OB}$.

a) Определите геометрическое место точек X, если:
1) $\alpha \ge 0, \beta \ge 0$;
2) $\alpha \ge 0, \beta \le 0$;
3) $\alpha = 1, \beta \in (-\infty; +\infty)$;
4) $\alpha \ge 0, \beta = -1$;
5) $0 \le \alpha \le 1, \beta = 2$.

б) Какими должны быть числа $\alpha$ и $\beta$, чтобы множество точек X определяло:
1) $\triangle AOB$;
2) параллелограмм?

а) 1)

Задано векторное равенство $\vec{OX} = \alpha\vec{OA} + \beta\vec{OB}$. В данном случае $\alpha \ge 0$ и $\beta \ge 0$.Вектор $\alpha\vec{OA}$ при $\alpha \ge 0$ задает все точки на луче $OA$, исходящем из точки $O$.Аналогично, вектор $\beta\vec{OB}$ при $\beta \ge 0$ задает все точки на луче $OB$.Сумма этих двух векторов, $\vec{OX}$, представляет собой радиус-вектор точки $X$. Когда $\alpha$ и $\beta$ принимают все возможные неотрицательные значения, конечные точки векторов $\vec{OX}$ заполняют всю внутреннюю область угла, образованного лучами $OA$ и $OB$, включая сами лучи.Таким образом, искомое геометрическое место точек — это угол $AOB$.

Ответ: Угол $AOB$ (включая его стороны).

а) 2)

В этом случае $\alpha \ge 0$ и $\beta \le 0$. Составляющая $\alpha\vec{OA}$ лежит на луче $OA$.Для составляющей $\beta\vec{OB}$, так как $\beta \le 0$, вектор $\beta\vec{OB}$ будет направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{OB}$. Пусть точка $B'$ такова, что $\vec{OB'} = -\vec{OB}$. Тогда $\beta\vec{OB} = |\beta|\vec{OB'}$, и этот вектор задает луч $OB'$.Сумма $\vec{OX} = \alpha\vec{OA} + \beta\vec{OB}$ задает угол, образованный лучом $OA$ и лучом $OB'$, противоположным лучу $OB$.

Ответ: Угол, образованный лучом $OA$ и лучом, противоположным лучу $OB$.

а) 3)

Условие $\alpha = 1$, $\beta \in (-\infty; +\infty)$. Равенство принимает вид $\vec{OX} = 1 \cdot \vec{OA} + \beta\vec{OB}$.Перенесем $\vec{OA}$ в левую часть: $\vec{OX} - \vec{OA} = \beta\vec{OB}$.По определению разности векторов, $\vec{OX} - \vec{OA} = \vec{AX}$.Следовательно, $\vec{AX} = \beta\vec{OB}$. Это означает, что вектор $\vec{AX}$ коллинеарен вектору $\vec{OB}$.Поскольку $\beta$ может принимать любое действительное значение, точка $X$ может находиться в любом месте на прямой, которая проходит через точку $A$ и параллельна вектору $\vec{OB}$ (а значит, и прямой $OB$).

Ответ: Прямая, проходящая через точку $A$ параллельно прямой $OB$.

а) 4)

Условие $\alpha \ge 0$, $\beta = -1$. Равенство принимает вид $\vec{OX} = \alpha\vec{OA} - \vec{OB}$.Пусть $B'$ — точка, симметричная точке $B$ относительно начала координат $O$, тогда $\vec{OB'} = -\vec{OB}$.Подставим это в исходное уравнение: $\vec{OX} = \alpha\vec{OA} + \vec{OB'}$.Перенесем $\vec{OB'}$ в левую часть: $\vec{OX} - \vec{OB'} = \alpha\vec{OA}$, что равносильно $\vec{B'X} = \alpha\vec{OA}$.Это уравнение означает, что вектор $\vec{B'X}$ коллинеарен вектору $\vec{OA}$. Так как $\alpha \ge 0$, векторы $\vec{B'X}$ и $\vec{OA}$ сонаправлены.Геометрическое место точек $X$ — это луч, выходящий из точки $B'$ в направлении вектора $\vec{OA}$.

Ответ: Луч, выходящий из точки $B'$, где $\vec{OB'} = -\vec{OB}$, и сонаправленный с вектором $\vec{OA}$.

а) 5)

Условие $0 \le \alpha \le 1$, $\beta = 2$. Равенство имеет вид $\vec{OX} = \alpha\vec{OA} + 2\vec{OB}$.Обозначим точку $C$ так, что $\vec{OC} = 2\vec{OB}$. Уравнение примет вид $\vec{OX} = \alpha\vec{OA} + \vec{OC}$.Перегруппируем: $\vec{OX} - \vec{OC} = \alpha\vec{OA}$, или $\vec{CX} = \alpha\vec{OA}$.Так как $0 \le \alpha \le 1$, вектор $\vec{CX}$ сонаправлен вектору $\vec{OA}$, а его длина изменяется от $0$ (при $\alpha=0$) до $|\vec{OA}|$ (при $\alpha=1$).При $\alpha=0$, $\vec{CX} = \vec{0}$, то есть точка $X$ совпадает с $C$.При $\alpha=1$, $\vec{CX} = \vec{OA}$. Обозначим эту точку $X$ как $D$. Тогда $\vec{CD} = \vec{OA}$.Множество точек $X$ представляет собой отрезок, соединяющий точки $C$ и $D$.

Ответ: Отрезок $CD$, где точка $C$ определяется вектором $\vec{OC} = 2\vec{OB}$, а точка $D$ — вектором $\vec{OD} = \vec{OA} + 2\vec{OB}$.

б) 1)

Множество точек $X$, образующих треугольник $AOB$ (включая его стороны и внутреннюю область), задается уравнением $\vec{OX} = \alpha\vec{OA} + \beta\vec{OB}$ при выполнении следующих условий на коэффициенты $\alpha$ и $\beta$. Точка $X$ принадлежит треугольнику $OAB$ тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде барицентрической комбинации вершин, то есть $\vec{OX} = \lambda_O \vec{OO} + \lambda_A \vec{OA} + \lambda_B \vec{OB}$ с условиями $\lambda_O, \lambda_A, \lambda_B \ge 0$ и $\lambda_O+\lambda_A+\lambda_B=1$. Поскольку $\vec{OO}=\vec{0}$, это упрощается до $\vec{OX} = \lambda_A\vec{OA} + \lambda_B\vec{OB}$, где $\lambda_A \ge 0, \lambda_B \ge 0$ и $\lambda_A+\lambda_B \le 1$. Сравнивая с исходным уравнением, получаем искомые условия для $\alpha$ и $\beta$.

Ответ: $\alpha \ge 0, \beta \ge 0, \alpha + \beta \le 1$.

б) 2)

Параллелограмм, построенный на векторах $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$, отложенных от одной точки $O$, — это фигура $OACB$, где $C$ — четвертая вершина, для которой выполняется равенство $\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}$. Любая точка $X$ внутри этого параллелограмма и на его границах может быть представлена в виде линейной комбинации $\vec{OX} = \alpha\vec{OA} + \beta\vec{OB}$, где коэффициенты $\alpha$ и $\beta$ независимо изменяются от $0$ до $1$.При $\alpha \in [0, 1]$ и $\beta \in [0, 1]$ точка $X$ "пробегает" все точки параллелограмма $OACB$.

Ответ: $0 \le \alpha \le 1, 0 \le \beta \le 1$.