Номер 1.202, страница 68 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.202. Покажите, что можно построить треугольник со сторонами, равными медианам $\triangle ABC$ и параллельными этим медианам.

Для доказательства используем векторный метод. Пусть вершины треугольника $ABC$ заданы радиус-векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ относительно некоторого начала координат.

Пусть $A_1$, $B_1$, $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Тогда их радиус-векторы выражаются через векторы вершин:
$\vec{a_1} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$
$\vec{b_1} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$
$\vec{c_1} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

Медианы треугольника $ABC$ — это отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. Представим их в виде векторов:
$\vec{m_a} = \vec{AA_1} = \vec{a_1} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$
$\vec{m_b} = \vec{BB_1} = \vec{b_1} - \vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} - \vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b}}{2}$
$\vec{m_c} = \vec{CC_1} = \vec{c_1} - \vec{c} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} - \vec{c} = \frac{\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}}{2}$

Найдем сумму этих векторов-медиан:
$\vec{m_a} + \vec{m_b} + \vec{m_c} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2} + \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b}}{2} + \frac{\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}}{2}$
$= \frac{(\vec{b} - 2\vec{b} + \vec{b}) + (\vec{c} + \vec{c} - 2\vec{c}) + (-2\vec{a} + \vec{a} + \vec{a})}{2} = \frac{\vec{0} + \vec{0} + \vec{0}}{2} = \vec{0}$

Сумма векторов медиан равна нулевому вектору: $\vec{m_a} + \vec{m_b} + \vec{m_c} = \vec{0}$.
Это является необходимым и достаточным условием для того, чтобы три вектора могли образовать замкнутую ломаную, то есть треугольник, если их откладывать последовательно друг от друга (конец одного вектора является началом следующего).

Построим такой треугольник. Возьмем произвольную точку $P$ на плоскости. Отложим от нее вектор $\vec{PQ} = \vec{m_a}$. Затем от точки $Q$ отложим вектор $\vec{QR} = \vec{m_b}$. Соединим точки $P$ и $R$. По правилу сложения векторов, $\vec{PR} = \vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{m_a} + \vec{m_b}$.
Так как $\vec{m_a} + \vec{m_b} + \vec{m_c} = \vec{0}$, то $\vec{m_a} + \vec{m_b} = -\vec{m_c}$.
Следовательно, $\vec{PR} = -\vec{m_c}$.
Вектор $\vec{RP} = -\vec{PR} = -(-\vec{m_c}) = \vec{m_c}$.
Таким образом, мы получили треугольник $PQR$, стороны которого заданы векторами $\vec{PQ} = \vec{m_a}$, $\vec{QR} = \vec{m_b}$ и $\vec{RP} = \vec{m_c}$.

Стороны полученного треугольника $PQR$:
1. Сторона $PQ$ параллельна медиане $AA_1$ и ее длина равна длине медианы $AA_1$ ($|PQ|=|\vec{m_a}|$).
2. Сторона $QR$ параллельна медиане $BB_1$ и ее длина равна длине медианы $BB_1$ ($|QR|=|\vec{m_b}|$).
3. Сторона $RP$ параллельна медиане $CC_1$ и ее длина равна длине медианы $CC_1$ ($|RP|=|\vec{m_c}|$).
Следовательно, можно построить треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам данного треугольника $ABC$.

Ответ: Таким образом, существование и способ построения требуемого треугольника доказаны.