Номер 1.197, страница 67 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.197. Докажите, что прямые $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2x+b_2$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $k_1 = -\frac{1}{k_2}$.

Для доказательства утверждения, что прямые $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2x+b_2$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $k_1 = -\frac{1}{k_2}$, мы воспользуемся методами аналитической геометрии.

Условие перпендикулярности двух прямых зависит только от угла между ними. Угол, в свою очередь, определяется их угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$. Свободные члены $b_1$ и $b_2$ влияют лишь на параллельный перенос прямых в плоскости, не изменяя угла между ними. Поэтому для доказательства достаточно рассмотреть две прямые, параллельные данным, но проходящие через начало координат: $l_1: y=k_1x$ и $l_2: y=k_2x$. Исходные прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда перпендикулярны эти две прямые, проходящие через начало координат.

Каждую прямую вида $y=kx$, проходящую через начало координат, можно охарактеризовать направляющим вектором. Если мы возьмем на прямой точку с абсциссой $x=1$, то ее ордината будет равна $y=k$. Таким образом, вектор, соединяющий начало координат $(0,0)$ с точкой $(1,k)$, является направляющим вектором для прямой $y=kx$.

Следовательно, направляющий вектор для прямой $l_1$ есть $\vec{v_1} = (1, k_1)$.

А направляющий вектор для прямой $l_2$ есть $\vec{v_2} = (1, k_2)$.

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы перпендикулярны (ортогональны). В свою очередь, два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 1 \cdot 1 + k_1 \cdot k_2 = 1 + k_1k_2$

Условие перпендикулярности векторов $\vec{v_1} \perp \vec{v_2}$ эквивалентно равенству $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.

Таким образом, условие перпендикулярности прямых $l_1$ и $l_2$ эквивалентно равенству:

$1 + k_1k_2 = 0$

Это равенство можно переписать в виде:

$k_1k_2 = -1$

Если предположить, что $k_2 \neq 0$ (то есть прямая $l_2$ не является горизонтальной), то можно разделить обе части равенства на $k_2$:

$k_1 = -\frac{1}{k_2}$

Так как каждый шаг в нашем рассуждении был основан на критерии "тогда и только тогда" (эквивалентности), мы доказали утверждение в обе стороны. Прямые, заданные уравнениями с угловым коэффициентом, перпендикулярны в том и только в том случае, когда произведение их угловых коэффициентов равно -1.

Стоит отметить, что это доказательство предполагает, что обе прямые не являются вертикальными (поскольку для вертикальной прямой угловой коэффициент не определен). Условие $k_1k_2=-1$ также подразумевает, что ни один из коэффициентов не может быть равен нулю, то есть ни одна из прямых не является горизонтальной. Если одна прямая горизонтальна ($k_1=0$), то перпендикулярная ей прямая будет вертикальной, и для нее уравнение вида $y=kx+b$ не применимо.

Ответ: Утверждение доказано.