Номер 1.190, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.190. При каких значениях $a$ и $b$ прямые $ax+8y+b=0$ и $2x+ay-1=0$:

1) совпадают;

2) параллельны;

3) перпендикулярны?

Даны две прямые, заданные общими уравнениями:
$L_1: ax+8y+b=0$
$L_2: 2x+ay-1=0$
Коэффициенты этих уравнений: $A_1=a, B_1=8, C_1=b$ и $A_2=2, B_2=a, C_2=-1$.

1) совпадают;

Две прямые совпадают, если их коэффициенты пропорциональны. Условие совпадения для прямых, заданных в общем виде $A_1x+B_1y+C_1=0$ и $A_2x+B_2y+C_2=0$, выглядит так:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$
Применим это условие к нашим прямым:
$\frac{a}{2} = \frac{8}{a} = \frac{b}{-1}$
Рассмотрим первую часть пропорции: $\frac{a}{2} = \frac{8}{a}$.
Отсюда следует, что $a^2 = 2 \cdot 8 = 16$.
Это уравнение имеет два решения: $a=4$ и $a=-4$.
Рассмотрим каждый случай:
1. Если $a=4$, то из пропорции $\frac{4}{2} = \frac{b}{-1}$ получаем $2 = -b$, следовательно, $b=-2$.
2. Если $a=-4$, то из пропорции $\frac{-4}{2} = \frac{b}{-1}$ получаем $-2 = -b$, следовательно, $b=2$.
Таким образом, прямые совпадают при двух парах значений $a$ и $b$.

Ответ: $a=4, b=-2$ или $a=-4, b=2$.

2) параллельны;

Две прямые параллельны, но не совпадают, если коэффициенты при переменных $x$ и $y$ пропорциональны, но это соотношение не выполняется для свободных членов. Условие параллельности:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$
Для наших прямых:
$\frac{a}{2} = \frac{8}{a} \neq \frac{b}{-1}$
Из равенства $\frac{a}{2} = \frac{8}{a}$ мы уже знаем, что $a^2=16$, то есть $a=4$ или $a=-4$.
Теперь рассмотрим неравенство для каждого значения $a$:
1. Если $a=4$, значение отношения $\frac{a}{2} = 2$. Условие $2 \neq \frac{b}{-1}$ означает, что $2 \neq -b$, то есть $b \neq -2$.
2. Если $a=-4$, значение отношения $\frac{a}{2} = -2$. Условие $-2 \neq \frac{b}{-1}$ означает, что $-2 \neq -b$, то есть $b \neq 2$.

Ответ: $a=4$ и $b \neq -2$, или $a=-4$ и $b \neq 2$.

3) перпендикулярны?

Две прямые перпендикулярны, если скалярное произведение их нормальных векторов равно нулю. Нормальные векторы для данных прямых: $\vec{n_1}=(a, 8)$ и $\vec{n_2}=(2, a)$.
Условие перпендикулярности: $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.
Подставим коэффициенты наших прямых:
$a \cdot 2 + 8 \cdot a = 0$
$2a + 8a = 0$
$10a = 0$
$a=0$
Это условие не накладывает никаких ограничений на параметр $b$. Если $a=0$, то уравнения прямых принимают вид:
$L_1: 8y+b=0$ (горизонтальная прямая)
$L_2: 2x-1=0$ (вертикальная прямая)
Горизонтальная и вертикальная прямые всегда перпендикулярны, независимо от значения $b$.

Ответ: $a=0$, $b$ - любое действительное число ($b \in \mathbb{R}$).