Номер 1.193, страница 67 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.193. Напишите уравнение сторон квадрата, одна вершина которого находится в точке $A(2; -4)$, а центр - в точке $K(5; 2)$.

Для нахождения уравнений сторон квадрата воспользуемся его геометрическими свойствами. Центр квадрата является точкой пересечения его диагоналей и делит их пополам. Диагонали квадрата перпендикулярны. Стороны квадрата образуют с диагоналями угол в $45^\circ$.

Даны вершина квадрата $A(2; -4)$ и его центр $K(5; 2)$.

1. Нахождение координат противоположной вершины.

Пусть вершины квадрата обозначены как A, B, C, D. Вершина C находится напротив вершины A, а центр K является серединой диагонали AC. Используем формулы для координат середины отрезка, чтобы найти координаты точки $C(x_C; y_C)$:

$x_K = \frac{x_A + x_C}{2} \Rightarrow 5 = \frac{2 + x_C}{2} \Rightarrow 10 = 2 + x_C \Rightarrow x_C = 8$

$y_K = \frac{y_A + y_C}{2} \Rightarrow 2 = \frac{-4 + y_C}{2} \Rightarrow 4 = -4 + y_C \Rightarrow y_C = 8$

Таким образом, координаты вершины C: $(8; 8)$.

2. Нахождение нормальных векторов сторон.

Стороны квадрата, проходящие через вершину A, образуют угол $45^\circ$ с диагональю AC. Мы можем найти нормальные векторы этих сторон.

Сначала найдем направляющий вектор диагонали AC:

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (8 - 2; 8 - (-4)) = (6; 12)$.

Для удобства возьмем коллинеарный ему вектор с меньшими координатами: $\vec{d} = (1; 2)$.

Пусть нормальный вектор одной из сторон, проходящих через A, имеет координаты $\vec{n} = (a; b)$. Угол $\theta$ между вектором $\vec{n}$ и вектором $\vec{d}$ равен $45^\circ$ или $135^\circ$, поэтому $\cos\theta = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Используем формулу косинуса угла между векторами:

$\cos\theta = \frac{\vec{n} \cdot \vec{d}}{|\vec{n}| |\vec{d}|} = \frac{a \cdot 1 + b \cdot 2}{\sqrt{a^2+b^2} \sqrt{1^2+2^2}} = \frac{a + 2b}{\sqrt{5}\sqrt{a^2+b^2}}$

Приравниваем к $\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$ и возводим в квадрат:

$\left(\frac{a + 2b}{\sqrt{5}\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2 = \left(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \Rightarrow \frac{(a + 2b)^2}{5(a^2+b^2)} = \frac{1}{2}$

$2(a^2 + 4ab + 4b^2) = 5(a^2 + b^2)$

$2a^2 + 8ab + 8b^2 = 5a^2 + 5b^2$

$3a^2 - 8ab - 3b^2 = 0$

Разделим уравнение на $b^2$ (полагая $b \ne 0$) и решим квадратное уравнение относительно $\frac{a}{b}$:

$3\left(\frac{a}{b}\right)^2 - 8\left(\frac{a}{b}\right) - 3 = 0$

Корни этого уравнения: $\frac{a}{b} = 3$ и $\frac{a}{b} = -\frac{1}{3}$.

Отсюда получаем два нормальных вектора для двух пар перпендикулярных сторон квадрата:

• При $\frac{a}{b}=3$ можем взять $a=3, b=1$. Нормальный вектор $\vec{n}_1 = (3; 1)$.
• При $\frac{a}{b}=-\frac{1}{3}$ можем взять $a=1, b=-3$. Нормальный вектор $\vec{n}_2 = (1; -3)$.

3. Составление уравнений сторон квадрата.

Две стороны квадрата проходят через точку $A(2; -4)$, а две другие, им параллельные, — через точку $C(8; 8)$.

Уравнение прямой с нормальным вектором $\vec{n}=(A, B)$, проходящей через точку $(x_0, y_0)$, имеет вид $A(x-x_0) + B(y-y_0) = 0$.

Стороны, проходящие через A(2; -4):

Сторона 1 (с нормалью $\vec{n}_1 = (3; 1)$):

$3(x - 2) + 1(y - (-4)) = 0 \Rightarrow 3x - 6 + y + 4 = 0 \Rightarrow 3x + y - 2 = 0$.

Сторона 2 (с нормалью $\vec{n}_2 = (1; -3)$):

$1(x - 2) - 3(y - (-4)) = 0 \Rightarrow x - 2 - 3y - 12 = 0 \Rightarrow x - 3y - 14 = 0$.

Стороны, проходящие через C(8; 8):

Сторона 3 (параллельна стороне 1, нормаль $\vec{n}_1 = (3; 1)$):

$3(x - 8) + 1(y - 8) = 0 \Rightarrow 3x - 24 + y - 8 = 0 \Rightarrow 3x + y - 32 = 0$.

Сторона 4 (параллельна стороне 2, нормаль $\vec{n}_2 = (1; -3)$):

$1(x - 8) - 3(y - 8) = 0 \Rightarrow x - 8 - 3y + 24 = 0 \Rightarrow x - 3y + 16 = 0$.

Ответ: Уравнения сторон квадрата:

$3x + y - 2 = 0$

$x - 3y - 14 = 0$

$3x + y - 32 = 0$

$x - 3y + 16 = 0$