Номер 1.198, страница 67 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.198. Напишите уравнение биссектрисы угла между прямыми $a_1 x+b_1 y+c_1=0$ и $a_2 x+b_2 y+c_2=0$ $(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2})$.

Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла. Пусть даны две пересекающиеся прямые $l_1$, заданная уравнением $a_1x+b_1y+c_1=0$, и $l_2$, заданная уравнением $a_2x+b_2y+c_2=0$. Условие $ \frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2} $ гарантирует, что прямые пересекаются.

Для любой точки $M(x, y)$, принадлежащей биссектрисе, расстояние от $M$ до прямой $l_1$ равно расстоянию от $M$ до прямой $l_2$. Расстояние от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$ находится по формуле:

$d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Приравнивая расстояния от произвольной точки биссектрисы $M(x, y)$ до заданных прямых, получаем:

$\frac{|a_1x+b_1y+c_1|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}} = \frac{|a_2x+b_2y+c_2|}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$

Это уравнение описывает совокупность всех точек, равноудаленных от двух прямых. Раскрывая модули (учитывая, что равенство $|A| = |B|$ эквивалентно $A = B$ или $A = -B$), мы получаем уравнения двух взаимно перпендикулярных прямых, которые являются биссектрисами углов, образованных пересечением исходных прямых. Эти уравнения можно записать так:

$\frac{a_1x+b_1y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}} = \frac{a_2x+b_2y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$ и $\frac{a_1x+b_1y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}} = -\frac{a_2x+b_2y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$

Оба уравнения можно объединить в одну общую формулу.

Ответ: $\frac{a_1x+b_1y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}} = \pm \frac{a_2x+b_2y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$