Номер 1.200, страница 67 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.200. Напишите уравнения:

1) медиан;

2) биссектрис;

3) высот треугольника, составленного из прямых $y=0$, $3x-4y=0$ и $4x+3y-50=0$.

Для решения задачи сначала найдем координаты вершин треугольника. Вершины являются точками пересечения прямых, образующих стороны треугольника.

Даны уравнения сторон:
$L_1: y = 0$
$L_2: 3x - 4y = 0$
$L_3: 4x + 3y - 50 = 0$

Найдем вершины треугольника:

Вершина A (пересечение $L_1$ и $L_2$):
$\begin{cases} y = 0 \\ 3x - 4y = 0 \end{cases} \Rightarrow 3x - 4(0) = 0 \Rightarrow 3x = 0 \Rightarrow x = 0$.
Координаты вершины A: $(0, 0)$.

Вершина B (пересечение $L_1$ и $L_3$):
$\begin{cases} y = 0 \\ 4x + 3y - 50 = 0 \end{cases} \Rightarrow 4x + 3(0) - 50 = 0 \Rightarrow 4x = 50 \Rightarrow x = 12.5$.
Координаты вершины B: $(12.5, 0)$.

Вершина C (пересечение $L_2$ и $L_3$):
$\begin{cases} 3x - 4y = 0 \\ 4x + 3y - 50 = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения выражаем $y$: $y = \frac{3}{4}x$. Подставляем во второе уравнение:
$4x + 3(\frac{3}{4}x) - 50 = 0 \Rightarrow 4x + \frac{9}{4}x - 50 = 0 \Rightarrow \frac{16x + 9x}{4} = 50 \Rightarrow \frac{25x}{4} = 50 \Rightarrow 25x = 200 \Rightarrow x = 8$.
Находим $y$: $y = \frac{3}{4}(8) = 6$.
Координаты вершины C: $(8, 6)$.

Итак, вершины треугольника: $A(0, 0)$, $B(12.5, 0)$, $C(8, 6)$.

1) медиан

Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Сначала найдем координаты середин сторон треугольника.
Середина $M_{BC}$ стороны BC: $M_{BC} = (\frac{12.5 + 8}{2}, \frac{0 + 6}{2}) = (\frac{20.5}{2}, 3) = (10.25, 3)$.
Середина $M_{AC}$ стороны AC: $M_{AC} = (\frac{0 + 8}{2}, \frac{0 + 6}{2}) = (4, 3)$.
Середина $M_{AB}$ стороны AB: $M_{AB} = (\frac{0 + 12.5}{2}, \frac{0 + 0}{2}) = (\frac{12.5}{2}, 0) = (6.25, 0)$.

Теперь составим уравнения медиан, используя формулу уравнения прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $\frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1}$.
Медиана из вершины A(0, 0) к $M_{BC}(10.25, 3)$:
$\frac{y - 0}{3 - 0} = \frac{x - 0}{10.25 - 0} \Rightarrow \frac{y}{3} = \frac{x}{10.25} \Rightarrow 10.25y = 3x \Rightarrow \frac{41}{4}y = 3x \Rightarrow 41y = 12x \Rightarrow 12x - 41y = 0$.
Медиана из вершины B(12.5, 0) к $M_{AC}(4, 3)$:
$\frac{y - 0}{3 - 0} = \frac{x - 12.5}{4 - 12.5} \Rightarrow \frac{y}{3} = \frac{x - 12.5}{-8.5} \Rightarrow -8.5y = 3(x - 12.5) \Rightarrow -\frac{17}{2}y = 3x - 37.5 \Rightarrow -17y = 6x - 75 \Rightarrow 6x + 17y - 75 = 0$.
Медиана из вершины C(8, 6) к $M_{AB}(6.25, 0)$:
$\frac{y - 6}{0 - 6} = \frac{x - 8}{6.25 - 8} \Rightarrow \frac{y - 6}{-6} = \frac{x - 8}{-1.75} \Rightarrow -1.75(y-6) = -6(x-8) \Rightarrow \frac{7}{4}(y-6) = 6(x-8) \Rightarrow 7(y-6) = 24(x-8) \Rightarrow 7y - 42 = 24x - 192 \Rightarrow 24x - 7y - 150 = 0$.

Ответ: уравнения медиан: $12x - 41y = 0$, $6x + 17y - 75 = 0$, $24x - 7y - 150 = 0$.

2) биссектрис

Уравнение биссектрис угла между прямыми $A_1x+B_1y+C_1=0$ и $A_2x+B_2y+C_2=0$ находится по формуле:
$\frac{A_1x+B_1y+C_1}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}} = \pm \frac{A_2x+B_2y+C_2}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}$.
Стороны треугольника: AB ($y=0$), AC ($3x-4y=0$), BC ($4x+3y-50=0$).

Биссектриса угла A (между $y=0$ и $3x-4y=0$):
$\frac{y}{\sqrt{0^2+1^2}} = \pm \frac{3x-4y}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} \Rightarrow y = \pm \frac{3x-4y}{5}$.
Две биссектрисы: $x-3y=0$ и $3x+y=0$. Угловой коэффициент стороны AC ($y=3/4x$) равен $3/4$, стороны AB ($y=0$) равен $0$. Угловой коэффициент прямой $x-3y=0$ ($y=x/3$) равен $1/3$. Так как $0 < 1/3 < 3/4$, эта прямая лежит внутри угла A и является внутренней биссектрисой.
Уравнение биссектрисы угла A: $x - 3y = 0$.

Биссектриса угла B (между $y=0$ и $4x+3y-50=0$):
$\frac{y}{1} = \pm \frac{4x+3y-50}{\sqrt{4^2+3^2}} \Rightarrow 5y = \pm (4x+3y-50)$.
Две биссектрисы: $2x-y-25=0$ и $2x+4y-25=0$. Для определения внутренней биссектрисы подставим координаты вершин A(0,0) и C(8,6) (не лежащих на угле B). Для внутренней биссектрисы знаки должны быть разными.
Для $2x+4y-25=0$: A(0,0) дает $2(0)+4(0)-25=-25$, а C(8,6) дает $2(8)+4(6)-25 = 16+24-25=15$. Знаки разные, значит это внутренняя биссектриса.
Уравнение биссектрисы угла B: $2x + 4y - 25 = 0$.

Биссектриса угла C (между $3x-4y=0$ и $4x+3y-50=0$):
$\frac{3x-4y}{5} = \pm \frac{4x+3y-50}{5} \Rightarrow 3x-4y = \pm(4x+3y-50)$.
Две биссектрисы: $x+7y-50=0$ и $7x-y-50=0$. Проверим знаки для вершин A(0,0) и B(12.5,0).
Для $7x-y-50=0$: A(0,0) дает $7(0)-0-50=-50$, а B(12.5,0) дает $7(12.5)-0-50 = 87.5-50=37.5$. Знаки разные, значит это внутренняя биссектриса.
Уравнение биссектрисы угла C: $7x - y - 50 = 0$.

Ответ: уравнения биссектрис: $x - 3y = 0$, $2x + 4y - 25 = 0$, $7x - y - 50 = 0$.

3) высот

Высота — это перпендикуляр из вершины на противоположную сторону.
Найдем угловые коэффициенты сторон:
$L_1: y=0 \Rightarrow k_1 = 0$.
$L_2: 3x-4y=0 \Rightarrow y=\frac{3}{4}x \Rightarrow k_2 = \frac{3}{4}$.
$L_3: 4x+3y-50=0 \Rightarrow y=-\frac{4}{3}x+\frac{50}{3} \Rightarrow k_3 = -\frac{4}{3}$.

Поскольку произведение угловых коэффициентов сторон AC ($L_2$) и BC ($L_3$) равно $k_2 \cdot k_3 = \frac{3}{4} \cdot (-\frac{4}{3}) = -1$, эти стороны перпендикулярны. Следовательно, треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине C.

Высота из вершины A на сторону BC: Так как $AC \perp BC$, высота совпадает со стороной AC. Ее уравнение: $3x - 4y = 0$.
Высота из вершины B на сторону AC: Так как $BC \perp AC$, высота совпадает со стороной BC. Ее уравнение: $4x + 3y - 50 = 0$.
Высота из вершины C на сторону AB: Сторона AB лежит на оси Ox ($y=0$). Высота к ней будет вертикальной прямой, проходящей через точку C(8, 6). Уравнение такой прямой $x=8$. В общем виде: $x - 8 = 0$.

Ответ: уравнения высот: $3x - 4y = 0$, $4x + 3y - 50 = 0$, $x - 8 = 0$.