Номер 1.203, страница 68 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.203. Точка C делит отрезок AB в отношении p : q. Докажите, что для любой точки O плоскости верно равенство $\vec{OC} = \frac{q}{p+q} \vec{OA} + \frac{p}{p+q} \vec{OB}$.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Пусть нам даны точки A, B, и точка C на отрезке AB. Пусть O — произвольная точка на плоскости (начало радиус-векторов).

По условию задачи, точка C делит отрезок AB в отношении $p:q$. Это означает, что отношение длин отрезков AC и CB равно $p/q$:

$ \frac{AC}{CB} = \frac{p}{q} $

Поскольку точка C лежит на отрезке AB, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$ коллинеарны и имеют одинаковое направление. Следовательно, мы можем записать следующее векторное равенство, связывающее их длины:

$q \cdot \vec{AC} = p \cdot \vec{CB}$

Изобразим данную конфигурацию точек и векторов на рисунке.

Теперь выразим векторы $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$ через радиус-векторы точек A, B, C, отложенные от точки O. По правилу вычитания векторов (или правилу треугольника):

$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA}$

$\vec{CB} = \vec{OB} - \vec{OC}$

Подставим эти выражения в наше основное векторное соотношение $q \cdot \vec{AC} = p \cdot \vec{CB}$:

$q \cdot (\vec{OC} - \vec{OA}) = p \cdot (\vec{OB} - \vec{OC})$

Раскроем скобки в уравнении:

$q \cdot \vec{OC} - q \cdot \vec{OA} = p \cdot \vec{OB} - p \cdot \vec{OC}$

Соберем все члены, содержащие искомый вектор $\vec{OC}$, в левой части равенства, а остальные члены перенесем в правую часть:

$q \cdot \vec{OC} + p \cdot \vec{OC} = q \cdot \vec{OA} + p \cdot \vec{OB}$

В левой части вынесем вектор $\vec{OC}$ за скобки:

$(p + q) \cdot \vec{OC} = q \cdot \vec{OA} + p \cdot \vec{OB}$

Поскольку $p$ и $q$ представляют собой отношение, это положительные числа, и их сумма $p+q$ не равна нулю. Следовательно, мы можем разделить обе части равенства на $(p+q)$, чтобы выразить $\vec{OC}$:

$\vec{OC} = \frac{q \cdot \vec{OA} + p \cdot \vec{OB}}{p+q}$

Разделив почленно, получим окончательную формулу:

$\vec{OC} = \frac{q}{p+q}\vec{OA} + \frac{p}{p+q}\vec{OB}$

Это и есть тождество, которое требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.