Номер 1.195, страница 67 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.195. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $A(8; 6)$ и отсекающей от координатного угла треугольник, площадь которого равна $12$.

Для решения задачи воспользуемся уравнением прямой в отрезках, которое имеет вид:

$ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 $

Здесь $a$ и $b$ — это величины отрезков, которые прямая отсекает на осях Ox и Oy соответственно. Прямая пересекает ось Ox в точке $(a, 0)$ и ось Oy в точке $(0, b)$.

Треугольник, отсекаемый прямой от координатного угла, является прямоугольным с вершинами в точках $(0, 0)$, $(a, 0)$ и $(0, b)$. Его катеты равны $|a|$ и $|b|$.

Площадь $S$ этого треугольника вычисляется по формуле:

$ S = \frac{1}{2} |a| \cdot |b| $

По условию задачи, площадь равна 12:

$ \frac{1}{2} |ab| = 12 \implies |ab| = 24 $

Также известно, что прямая проходит через точку $A(8; 6)$. Следовательно, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению прямой:

$ \frac{8}{a} + \frac{6}{b} = 1 $

Приведем это уравнение к общему знаменателю:

$ \frac{8b + 6a}{ab} = 1 \implies 8b + 6a = ab $

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$. Рассмотрим возможные случаи, исходя из соотношения $|ab|=24$.

Случай 1: Прямая отсекает отрезки в первом координатном углу ($a > 0, b > 0$)

В этом случае $ab = 24$. Подставим это значение в уравнение $8b + 6a = ab$:

$ 8b + 6a = 24 $

Из $ab = 24$ выразим $b = \frac{24}{a}$ и подставим в полученное уравнение:

$ 8\left(\frac{24}{a}\right) + 6a = 24 $

$ \frac{192}{a} + 6a = 24 $

Разделим обе части на 6:

$ \frac{32}{a} + a = 4 $

Умножим на $a$ (поскольку $a > 0$, то $a \ne 0$):

$ 32 + a^2 = 4a $

$ a^2 - 4a + 32 = 0 $

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:

$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 16 - 128 = -112 $

Так как $D < 0$, действительных решений для $a$ нет. Это означает, что не существует прямой с положительными отрезками на осях, которая удовлетворяла бы условиям задачи.

Случай 2: Отрезки на осях имеют разные знаки ($a > 0, b < 0$ или $a < 0, b > 0$)

В обоих этих подслучаях $ab = -24$. Подставим это значение в уравнение $8b + 6a = ab$:

$ 8b + 6a = -24 $

Из $ab = -24$ выразим $b = -\frac{24}{a}$ и подставим в уравнение:

$ 8\left(-\frac{24}{a}\right) + 6a = -24 $

$ -\frac{192}{a} + 6a = -24 $

Разделим обе части на 6:

$ -\frac{32}{a} + a = -4 $

Умножим на $a$ ($a \ne 0$):

$ -32 + a^2 = -4a $

$ a^2 + 4a - 32 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144 = 12^2$.

Корни уравнения для $a$:

$ a_1 = \frac{-4 + 12}{2} = 4 $

$ a_2 = \frac{-4 - 12}{2} = -8 $

Найдем соответствующие значения $b$ для каждого корня и запишем уравнения прямых.

Решение 1:

Если $a = 4$ (что соответствует $a > 0$), то $b = -\frac{24}{a} = -\frac{24}{4} = -6$. Это соответствует подслучаю $b < 0$.

Уравнение прямой: $ \frac{x}{4} + \frac{y}{-6} = 1 $.

Приведем к общему виду $Ax+By+C=0$. Умножим на 12:

$ 3x - 2y = 12 \implies 3x - 2y - 12 = 0 $.

Решение 2:

Если $a = -8$ (что соответствует $a < 0$), то $b = -\frac{24}{a} = -\frac{24}{-8} = 3$. Это соответствует подслучаю $b > 0$.

Уравнение прямой: $ \frac{x}{-8} + \frac{y}{3} = 1 $.

Приведем к общему виду. Умножим на -24:

$ 3x - 8y = -24 \implies 3x - 8y + 24 = 0 $.

Случай 3: Оба отрезка отрицательны ($a < 0, b < 0$)

В этом случае уравнение $ \frac{8}{a} + \frac{6}{b} = 1 $ не может иметь решений, так как слева стоит сумма двух отрицательных чисел ( $8/a < 0$ и $6/b < 0$ ), а справа — положительное число 1. Таким образом, этот случай невозможен.

Итак, мы нашли два возможных уравнения прямой, удовлетворяющих условиям задачи.

Ответ: $3x - 2y - 12 = 0$ и $3x - 8y + 24 = 0$.