Номер 1.191, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.191. При каком значении $q$ прямые $qx+(2q+3)y+q+6=0$ и $(2q+1)x+(q-1)y+q-2=0$ пересекаются в точке, расположенной на оси ординат?

Условие задачи заключается в том, что точка пересечения двух прямых лежит на оси ординат (оси Oy). Координаты любой точки на оси ординат имеют вид $(0; y)$. Следовательно, абсцисса точки пересечения равна нулю, то есть $x=0$.

Заданы две прямые уравнениями:
$qx + (2q+3)y + q + 6 = 0$ (1)
$(2q+1)x + (q-1)y + q - 2 = 0$ (2)

Поскольку точка пересечения $(0; y)$ лежит на обеих прямых, ее координаты должны удовлетворять обоим уравнениям. Подставим значение $x=0$ в оба уравнения.

Для уравнения (1):
$q \cdot 0 + (2q+3)y + q + 6 = 0$
$(2q+3)y + q + 6 = 0$

Для уравнения (2):
$(2q+1) \cdot 0 + (q-1)y + q - 2 = 0$
$(q-1)y + q - 2 = 0$

Мы получили систему двух уравнений относительно $y$ и $q$. Для того чтобы эти уравнения описывали одну и ту же точку пересечения, значение $y$ должно быть одинаковым в обоих случаях. Выразим $y$ из каждого уравнения, предполагая, что коэффициенты при $y$ не равны нулю.

Из первого уравнения получаем:
$(2q+3)y = -q-6$
$y = \frac{-q-6}{2q+3}$ (при $2q+3 \neq 0$, то есть $q \neq -1.5$)

Из второго уравнения получаем:
$(q-1)y = -q+2$
$y = \frac{2-q}{q-1}$ (при $q-1 \neq 0$, то есть $q \neq 1$)

Приравняем выражения для $y$:
$\frac{-q-6}{2q+3} = \frac{2-q}{q-1}$

Решим это уравнение относительно $q$, используя свойство пропорции (перекрестное умножение):
$(-q-6)(q-1) = (2-q)(2q+3)$
Раскроем скобки в обеих частях равенства:
$-q^2 + q - 6q + 6 = 4q + 6 - 2q^2 - 3q$
$-q^2 - 5q + 6 = -2q^2 + q + 6$
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$-q^2 - 5q + 6 + 2q^2 - q - 6 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(-q^2 + 2q^2) + (-5q - q) + (6 - 6) = 0$
$q^2 - 6q = 0$

Вынесем общий множитель $q$ за скобки:
$q(q-6) = 0$

Это уравнение имеет два корня:
$q_1 = 0$
$q_2 = 6$

Оба найденных значения удовлетворяют ранее установленным ограничениям ($q \neq -1.5$ и $q \neq 1$). При этих значениях $q$ прямые будут пересекаться, а не будут параллельными или совпадающими, так как условие параллельности $\frac{q}{2q+1}=\frac{2q+3}{q-1}$ приводит к квадратному уравнению $q^2+3q+1=0$, корнями которого не являются $0$ и $6$.

Ответ: $q=0$ или $q=6$.