Страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.183. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Для доказательства того, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны, рассмотрим ромб $ABCD$ с диагоналями $AC$ и $BD$, которые пересекаются в точке $O$.

По определению ромба, все его стороны равны. В нашем случае это означает, что $AB = AD$. Следовательно, треугольник $\triangle ABD$ является равнобедренным, а его основанием служит диагональ $BD$.

Ромб также является параллелограммом, а одним из свойств параллелограмма является то, что его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, точка $O$ является серединой диагонали $BD$. Это значит, что отрезок $AO$ соединяет вершину треугольника $\triangle ABD$ с серединой его основания, то есть $AO$ — медиана этого треугольника.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, одновременно является и высотой. Поскольку $AO$ — медиана, проведенная к основанию $BD$ в равнобедренном треугольнике $\triangle ABD$, она также является и его высотой. Это означает, что $AO$ перпендикулярна $BD$ ($AO \perp BD$).

Так как отрезок $AO$ является частью диагонали $AC$, то и вся диагональ $AC$ перпендикулярна диагонали $BD$. Утверждение доказано.

Ответ: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Рис. 1.41

1.184. Груз весом 30 кг подвешен в точке С так, как показано на рис. 1.41. Угол $ACB$ равен $120^\circ$. С какой силой действует этот груз на тросы $AC$ и $BC$?

Для решения задачи воспользуемся первым законом Ньютона (условием равновесия). Поскольку груз находится в состоянии покоя, векторная сумма всех сил, действующих на точку подвеса C, равна нулю.

На точку C действуют три силы:

1. Сила тяжести груза $\vec{P}$, направленная вертикально вниз.
2. Сила натяжения троса AC, $\vec{T}_{AC}$, направленная вдоль троса от точки C к точке A.
3. Сила натяжения троса BC, $\vec{T}_{BC}$, направленная горизонтально вдоль троса от точки C к точке B.

Диаграмма сил, действующих на точку C, показана ниже:

Сначала найдем вес груза $P$. В условии указан вес 30 кг, что является разговорным выражением для массы. Примем массу $m = 30$ кг и ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

$P = m \cdot g = 30 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 294 \text{ Н}$.

Запишем условие равновесия в векторной форме:

$\vec{P} + \vec{T}_{AC} + \vec{T}_{BC} = 0$

Для решения спроецируем это уравнение на оси координат. Ось $Ox$ направим горизонтально вправо, а ось $Oy$ — вертикально вверх. Точку C поместим в начало координат.

Трос BC горизонтален, значит угол между ним и осью $Ox$ равен 0°. Угол между тросами AC и BC равен 120°. Следовательно, угол, который трос AC составляет с отрицательным направлением оси $Ox$, равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Запишем уравнения равновесия в проекциях на оси:

Проекция на ось $Ox$: $T_{BC} - T_{AC} \cos(60^\circ) = 0$

Проекция на ось $Oy$: $T_{AC} \sin(60^\circ) - P = 0$

Теперь решим полученную систему уравнений.

Сила, с которой груз действует на трос AC

Из уравнения для оси $Oy$ выразим величину силы натяжения $T_{AC}$:

$T_{AC} \sin(60^\circ) = P$

$T_{AC} = \frac{P}{\sin(60^\circ)}$

Подставим значения $P=294$ Н и $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$T_{AC} = \frac{294}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{294 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{588}{\sqrt{3}} = \frac{588\sqrt{3}}{3} = 196\sqrt{3} \text{ Н}$

Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$T_{AC} \approx 196 \cdot 1.732 \approx 339.472 \text{ Н}$

Ответ: Сила натяжения троса AC равна $196\sqrt{3} \text{ Н}$, что приблизительно составляет $339.5 \text{ Н}$.

Сила, с которой груз действует на трос BC

Из уравнения для оси $Ox$ выразим величину силы натяжения $T_{BC}$:

$T_{BC} = T_{AC} \cos(60^\circ)$

Подставим найденное значение $T_{AC} = 196\sqrt{3}$ Н и $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$:

$T_{BC} = 196\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 98\sqrt{3} \text{ Н}$

Вычислим приближенное значение:

$T_{BC} \approx 98 \cdot 1.732 \approx 169.736 \text{ Н}$

Ответ: Сила натяжения троса BC равна $98\sqrt{3} \text{ Н}$, что приблизительно составляет $169.7 \text{ Н}$.

1.185. Груз весом 60 кг подвешен в точке B на стержнях AB и CB так, как показано на рис. 1.42. Углы $ACB$ и $ABC$ равны $90^\circ$ и $30^\circ$ соответственно. Определите силы, воздействующие на стержни.

Рис. 1.42

Для решения задачи воспользуемся первым законом Ньютона (условием равновесия) для точки В, в которой сходятся стержни и подвешен груз. Система находится в статическом равновесии, это означает, что векторная сумма всех сил, действующих на точку В, равна нулю.

1. Определение сил и геометрии

На точку В действуют три силы:

• Сила тяжести груза $\vec{P}$, направленная вертикально вниз.
• Сила реакции стержня АВ, $\vec{F}_{AB}$, направленная вдоль стержня.
• Сила реакции стержня СВ, $\vec{F}_{CB}$, направленная вдоль стержня.

Сначала найдем модуль силы тяжести (веса груза). Масса груза $m = 60$ кг. Примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с².

$P = m \cdot g = 60 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 588 \text{ Н}$

Рассмотрим геометрию системы. Треугольник АСВ является прямоугольным, так как по условию $\angle ACB = 90^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому можем найти угол ВАС:

$\angle BAC = 180^\circ - \angle ACB - \angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

Поскольку $\angle ACB = 90^\circ$, стержень CB горизонтален, а стена AC, к которой он крепится, вертикальна. Угол, который стержень АВ образует с горизонтальным стержнем СВ, равен $\angle ABC = 30^\circ$. Этот угол нам понадобится для разложения силы $\vec{F}_{AB}$ на компоненты.

2. Условия равновесия

Составим диаграмму сил, действующих на точку B, и введем систему координат с началом в точке В, осью ОХ, направленной горизонтально вправо, и осью ОY, направленной вертикально вверх.

Условие равновесия в векторной форме: $\vec{P} + \vec{F}_{AB} + \vec{F}_{CB} = 0$.

Запишем это условие в проекциях на оси координат:

На ось OX: $F_{ABx} + F_{CBx} + P_x = 0$

На ось OY: $F_{ABy} + F_{CBy} + P_y = 0$

Проекции сил:

• $\vec{P}$: $P_x = 0$, $P_y = -P = -588$ Н
• $\vec{F}_{CB}$ (стержень сжат, сила направлена влево): $F_{CBx} = -F_{CB}$, $F_{CBy} = 0$
• $\vec{F}_{AB}$ (стержень растянут, сила направлена под углом 30° к горизонту): $F_{ABx} = F_{AB} \cos(30^\circ)$, $F_{ABy} = F_{AB} \sin(30^\circ)$

Подставляем проекции в уравнения равновесия:

OX: $F_{AB} \cos(30^\circ) - F_{CB} = 0$ (1)

OY: $F_{AB} \sin(30^\circ) - P = 0$ (2)

3. Расчет сил

Из уравнения (2) найдем силу, действующую на стержень АВ:

$F_{AB} \sin(30^\circ) = P$

$F_{AB} = \frac{P}{\sin(30^\circ)} = \frac{588 \text{ Н}}{0.5} = 1176 \text{ Н}$

Так как проекция силы на ось OY положительна, стержень АВ испытывает растяжение.

Теперь из уравнения (1) найдем силу, действующую на стержень СВ:

$F_{CB} = F_{AB} \cos(30^\circ)$

Используя значение $F_{AB} = 1176$ Н и $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$:

$F_{CB} = 1176 \text{ Н} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 1176 \text{ Н} \cdot 0.866 = 1018.256 \text{ Н} \approx 1018 \text{ Н}$

Так как сила $\vec{F}_{CB}$ направлена против оси ОХ, стержень СВ испытывает сжатие.

Ответ: Сила, действующая на стержень АВ, является силой растяжения и равна $1176$ Н. Сила, действующая на стержень СВ, является силой сжатия и равна приблизительно $1018$ Н.

1.186. Дан треугольник, длины сторон которого равны $a$, $b$, $c$. Найдите:

1) косинус углов;

2) длины медиан;

3) длины биссектрис;

4) длины высот этого треугольника.

Обозначим стороны треугольника как $a, b, c$. Углы, противолежащие этим сторонам, обозначим как $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно.

1) косинус углов

Для нахождения косинусов углов треугольника по известным длинам его сторон используется теорема косинусов. Для стороны $a$ теорема косинусов выглядит так: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$. Выразим из этой формулы косинус угла $\alpha$: $2bc \cos \alpha = b^2 + c^2 - a^2$, $\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$. Аналогично, по теореме косинусов для сторон $b$ и $c$, находим косинусы углов $\beta$ и $\gamma$: $\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$, $\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
Ответ: Косинусы углов $\alpha, \beta, \gamma$ равны $\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$, $\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$, $\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.

2) длины медиан

Длину медианы треугольника можно найти по формуле, которая является следствием теоремы косинусов (или по теореме Аполлония). Обозначим медианы, проведенные к сторонам $a, b, c$, как $m_a, m_b, m_c$ соответственно. Формула для квадрата длины медианы $m_a$, проведенной к стороне $a$: $m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$. Откуда длина медианы $m_a$ равна: $m_a = \frac{\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}}{2}$. По аналогии находим длины двух других медиан: $m_b = \frac{\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}}{2}$, $m_c = \frac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$.
Ответ: Длины медиан $m_a, m_b, m_c$ равны $m_a = \frac{\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}}{2}$, $m_b = \frac{\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}}{2}$, $m_c = \frac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$.

3) длины биссектрис

Обозначим биссектрисы углов $\alpha, \beta, \gamma$ как $l_a, l_b, l_c$ соответственно. Длину биссектрисы $l_a$ можно выразить через длины прилежащих сторон $b, c$ и косинус половины угла $\alpha$: $l_a = \frac{2bc}{b+c} \cos(\frac{\alpha}{2})$. Используем формулу половинного угла: $\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 + \cos \alpha}{2}$. Подставим выражение для $\cos \alpha$ из пункта 1: $\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 + \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}}{2} = \frac{2bc + b^2 + c^2 - a^2}{4bc} = \frac{(b+c)^2 - a^2}{4bc} = \frac{(b+c-a)(b+c+a)}{4bc}$. Введем полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$. Тогда $b+c+a = 2p$ и $b+c-a = 2(p-a)$. $\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{2(p-a) \cdot 2p}{4bc} = \frac{p(p-a)}{bc}$. Следовательно, $\cos(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}$. Подставив это в формулу для $l_a$, получаем: $l_a = \frac{2bc}{b+c} \sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}} = \frac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p-a)}$. Аналогично для других биссектрис: $l_b = \frac{2}{a+c}\sqrt{acp(p-b)}$, $l_c = \frac{2}{a+b}\sqrt{abp(p-c)}$.
Ответ: Длины биссектрис $l_a, l_b, l_c$ равны $l_a = \frac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p-a)}$, $l_b = \frac{2}{a+c}\sqrt{acp(p-b)}$, $l_c = \frac{2}{a+b}\sqrt{abp(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$ - полупериметр.

4) длины высот

Обозначим высоты, опущенные на стороны $a, b, c$, как $h_a, h_b, h_c$ соответственно. Площадь треугольника $S$ можно выразить через длину стороны и высоту, опущенную на эту сторону: $S = \frac{1}{2} a h_a$. Отсюда $h_a = \frac{2S}{a}$. Площадь треугольника по трем сторонам можно найти по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$ - полупериметр. Подставив выражение для площади в формулу для высоты, получаем: $h_a = \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}$. Аналогично для других высот: $h_b = \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{b}$, $h_c = \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}$.
Ответ: Длины высот $h_a, h_b, h_c$ равны $h_a = \frac{2}{a}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, $h_b = \frac{2}{b}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, $h_c = \frac{2}{c}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$ - полупериметр.

1.187. Докажите, что сумма квадратов медиан треугольника составляет $\frac{3}{4}$ суммы квадратов его сторон.

Пусть дан треугольник со сторонами $a, b, c$. Медианы, проведенные к этим сторонам, обозначим как $m_a, m_b, m_c$ соответственно.



Для доказательства воспользуемся формулой для квадрата длины медианы треугольника. Длина медианы $m_a$, проведенной к стороне $a$, выражается через длины сторон треугольника следующим образом:
$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$
Эта формула является следствием теоремы косинусов (также известна как теорема Аполлония).

Аналогично запишем выражения для квадратов длин двух других медиан:
$m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}$
$m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$

Теперь сложим квадраты длин всех трех медиан:
$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} + \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4} + \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$

Приведем все дроби к общему знаменателю $4$ и сложим числители:
$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{(2b^2 + 2c^2 - a^2) + (2a^2 + 2c^2 - b^2) + (2a^2 + 2b^2 - c^2)}{4}$

Сгруппируем слагаемые в числителе:
$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{(-a^2 + 2a^2 + 2a^2) + (2b^2 - b^2 + 2b^2) + (2c^2 + 2c^2 - c^2)}{4}$

Выполним сложение:
$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3a^2 + 3b^2 + 3c^2}{4}$

Вынесем общий множитель $3$ за скобки в числителе:
$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3(a^2 + b^2 + c^2)}{4}$

Это выражение можно записать в виде:
$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2)$

Таким образом, мы доказали, что сумма квадратов медиан треугольника составляет $\frac{3}{4}$ суммы квадратов его сторон. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2)$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $m_a, m_b, m_c$ — медианы, проведенные к этим сторонам.

1.188. Покажите, что середины сторон любого выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Обозначим середины его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ как точки $K, L, M$ и $N$ соответственно. Четырехугольник, образованный этими точками, — это $KLMN$. Требуется доказать, что $KLMN$ является параллелограммом.

Доказательство:

1. Проведем диагональ $AC$ в исходном четырехугольнике $ABCD$. Эта диагональ разбивает его на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

2. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ (точка $K$) и $BC$ (точка $L$). Следовательно, $KL$ является средней линией треугольника $\triangle ABC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине. Таким образом:
$KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Отрезок $NM$ соединяет середины сторон $DA$ (точка $N$) и $CD$ (точка $M$). Следовательно, $NM$ является средней линией треугольника $\triangle ADC$. Аналогично пункту 2:
$NM \parallel AC$ и $NM = \frac{1}{2}AC$.

4. Из результатов, полученных в пунктах 2 и 3, мы имеем:
- $KL \parallel AC$ и $NM \parallel AC$, из чего следует, что $KL \parallel NM$.
- $KL = \frac{1}{2}AC$ и $NM = \frac{1}{2}AC$, из чего следует, что $KL = NM$.

5. Мы получили, что в четырехугольнике $KLMN$ две противоположные стороны ($KL$ и $NM$) параллельны и равны по длине. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырехугольник является параллелограммом.

Таким образом, $KLMN$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник, вершины которого находятся в серединах сторон произвольного выпуклого четырехугольника, всегда является параллелограммом. Этот факт известен как теорема Вариньона. Доказательство основано на свойстве средней линии треугольника. Каждая пара противолежащих сторон этого нового четырехугольника параллельна одной из диагоналей исходного четырехугольника и равна ее половине, что делает эти стороны параллельными и равными между собой.

1.189. Лучи света, проходя вдоль прямой $x-2y+5=0$, отражаются от прямой $3x-2y+7=0$, как от зеркальной поверхности. Напишите уравнение прямой, проходящей через луч отражения.

1. Определение точки падения луча

Падающий луч задан уравнением прямой $L_1: x - 2y + 5 = 0$. Зеркальная поверхность (прямая отражения) задана уравнением $L_2: 3x - 2y + 7 = 0$. Отраженный луч исходит из точки пересечения этих двух прямых (точки падения). Чтобы найти эту точку, решим систему уравнений:

$\begin{cases} x - 2y + 5 = 0 \\ 3x - 2y + 7 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 2y - 5$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$3(2y - 5) - 2y + 7 = 0$

Решаем полученное уравнение относительно $y$:

$6y - 15 - 2y + 7 = 0$

$4y - 8 = 0$

$y = 2$

Теперь найдем соответствующее значение $x$:

$x = 2(2) - 5 = 4 - 5 = -1$

Таким образом, точка падения луча — это точка $P(-1, 2)$.

2. Использование метода пучка прямых

Искомая прямая, содержащая отраженный луч ($L_3$), проходит через точку $P(-1, 2)$. Уравнение любой прямой, проходящей через точку пересечения $L_1$ и $L_2$, можно представить в виде уравнения пучка прямых:

$(x - 2y + 5) + \lambda(3x - 2y + 7) = 0$, где $\lambda$ — параметр.

Перегруппируем слагаемые, чтобы получить общее уравнение прямой:

$(1 + 3\lambda)x + (-2 - 2\lambda)y + (5 + 7\lambda) = 0$

Наша задача — найти значение $\lambda$, при котором эта прямая будет являться отраженным лучом.

3. Применение закона отражения

Согласно закону отражения, угол падения равен углу отражения. Это означает, что угол между падающим лучом $L_1$ и зеркалом $L_2$ равен углу между отраженным лучом $L_3$ и зеркалом $L_2$. Равенство углов означает равенство их косинусов. Косинус угла $\phi$ между двумя прямыми, заданными общими уравнениями $A_1x+B_1y+C_1=0$ и $A_2x+B_2y+C_2=0$, находится по формуле:

$\cos \phi = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$

Вычислим косинус угла между $L_1(A_1=1, B_1=-2)$ и $L_2(A_2=3, B_2=-2)$:

$\cos(L_1, L_2) = \frac{|1 \cdot 3 + (-2)(-2)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}\sqrt{3^2+(-2)^2}} = \frac{|3+4|}{\sqrt{5}\sqrt{13}} = \frac{7}{\sqrt{65}}$

Теперь вычислим косинус угла между $L_3(A_3=1+3\lambda, B_3=-2-2\lambda)$ и $L_2(A_2=3, B_2=-2)$:

$\cos(L_3, L_2) = \frac{|(1+3\lambda) \cdot 3 + (-2-2\lambda)(-2)|}{\sqrt{(1+3\lambda)^2+(-2-2\lambda)^2}\sqrt{3^2+(-2)^2}} = \frac{|3+9\lambda+4+4\lambda|}{\sqrt{13\lambda^2+14\lambda+5}\sqrt{13}} = \frac{|13\lambda+7|}{\sqrt{13(13\lambda^2+14\lambda+5)}}$

Приравняем квадраты косинусов, $\cos^2(L_1, L_2) = \cos^2(L_3, L_2)$:

$\frac{49}{65} = \frac{(13\lambda+7)^2}{13(13\lambda^2+14\lambda+5)}$

Сократим на 13: $\frac{49}{5} = \frac{(13\lambda+7)^2}{13\lambda^2+14\lambda+5}$.

Выполним преобразования: $49(13\lambda^2+14\lambda+5) = 5(13\lambda+7)^2$.

$637\lambda^2 + 686\lambda + 245 = 5(169\lambda^2 + 182\lambda + 49)$

$637\lambda^2 + 686\lambda + 245 = 845\lambda^2 + 910\lambda + 245$

Перенесем все члены в правую часть: $0 = (845-637)\lambda^2 + (910-686)\lambda$.

$0 = 208\lambda^2 + 224\lambda \implies 0 = \lambda(208\lambda + 224) \implies 0 = 16\lambda(13\lambda + 14)$.

Уравнение имеет два решения: $\lambda_1 = 0$ и $\lambda_2 = -\frac{14}{13}$.

Значение $\lambda = 0$ соответствует исходному падающему лучу $L_1$. Следовательно, для отраженного луча $L_3$ нужно использовать второе значение $\lambda = -\frac{14}{13}$.

4. Уравнение отраженного луча

Подставим найденное значение $\lambda = -\frac{14}{13}$ в уравнение пучка прямых:

$(x - 2y + 5) - \frac{14}{13}(3x - 2y + 7) = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим все уравнение на 13:

$13(x - 2y + 5) - 14(3x - 2y + 7) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$13x - 26y + 65 - 42x + 28y - 98 = 0$

$(13-42)x + (-26+28)y + (65-98) = 0$

$-29x + 2y - 33 = 0$

Умножим уравнение на -1, чтобы коэффициент при $x$ стал положительным:

$29x - 2y + 33 = 0$

Ответ: $29x - 2y + 33 = 0$.

1.190. При каких значениях $a$ и $b$ прямые $ax+8y+b=0$ и $2x+ay-1=0$:

1) совпадают;

2) параллельны;

3) перпендикулярны?

Даны две прямые, заданные общими уравнениями:
$L_1: ax+8y+b=0$
$L_2: 2x+ay-1=0$
Коэффициенты этих уравнений: $A_1=a, B_1=8, C_1=b$ и $A_2=2, B_2=a, C_2=-1$.

1) совпадают;

Две прямые совпадают, если их коэффициенты пропорциональны. Условие совпадения для прямых, заданных в общем виде $A_1x+B_1y+C_1=0$ и $A_2x+B_2y+C_2=0$, выглядит так:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$
Применим это условие к нашим прямым:
$\frac{a}{2} = \frac{8}{a} = \frac{b}{-1}$
Рассмотрим первую часть пропорции: $\frac{a}{2} = \frac{8}{a}$.
Отсюда следует, что $a^2 = 2 \cdot 8 = 16$.
Это уравнение имеет два решения: $a=4$ и $a=-4$.
Рассмотрим каждый случай:
1. Если $a=4$, то из пропорции $\frac{4}{2} = \frac{b}{-1}$ получаем $2 = -b$, следовательно, $b=-2$.
2. Если $a=-4$, то из пропорции $\frac{-4}{2} = \frac{b}{-1}$ получаем $-2 = -b$, следовательно, $b=2$.
Таким образом, прямые совпадают при двух парах значений $a$ и $b$.

Ответ: $a=4, b=-2$ или $a=-4, b=2$.

2) параллельны;

Две прямые параллельны, но не совпадают, если коэффициенты при переменных $x$ и $y$ пропорциональны, но это соотношение не выполняется для свободных членов. Условие параллельности:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$
Для наших прямых:
$\frac{a}{2} = \frac{8}{a} \neq \frac{b}{-1}$
Из равенства $\frac{a}{2} = \frac{8}{a}$ мы уже знаем, что $a^2=16$, то есть $a=4$ или $a=-4$.
Теперь рассмотрим неравенство для каждого значения $a$:
1. Если $a=4$, значение отношения $\frac{a}{2} = 2$. Условие $2 \neq \frac{b}{-1}$ означает, что $2 \neq -b$, то есть $b \neq -2$.
2. Если $a=-4$, значение отношения $\frac{a}{2} = -2$. Условие $-2 \neq \frac{b}{-1}$ означает, что $-2 \neq -b$, то есть $b \neq 2$.

Ответ: $a=4$ и $b \neq -2$, или $a=-4$ и $b \neq 2$.

3) перпендикулярны?

Две прямые перпендикулярны, если скалярное произведение их нормальных векторов равно нулю. Нормальные векторы для данных прямых: $\vec{n_1}=(a, 8)$ и $\vec{n_2}=(2, a)$.
Условие перпендикулярности: $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.
Подставим коэффициенты наших прямых:
$a \cdot 2 + 8 \cdot a = 0$
$2a + 8a = 0$
$10a = 0$
$a=0$
Это условие не накладывает никаких ограничений на параметр $b$. Если $a=0$, то уравнения прямых принимают вид:
$L_1: 8y+b=0$ (горизонтальная прямая)
$L_2: 2x-1=0$ (вертикальная прямая)
Горизонтальная и вертикальная прямые всегда перпендикулярны, независимо от значения $b$.

Ответ: $a=0$, $b$ - любое действительное число ($b \in \mathbb{R}$).

1.191. При каком значении $q$ прямые $qx+(2q+3)y+q+6=0$ и $(2q+1)x+(q-1)y+q-2=0$ пересекаются в точке, расположенной на оси ординат?

Условие задачи заключается в том, что точка пересечения двух прямых лежит на оси ординат (оси Oy). Координаты любой точки на оси ординат имеют вид $(0; y)$. Следовательно, абсцисса точки пересечения равна нулю, то есть $x=0$.

Заданы две прямые уравнениями:
$qx + (2q+3)y + q + 6 = 0$ (1)
$(2q+1)x + (q-1)y + q - 2 = 0$ (2)

Поскольку точка пересечения $(0; y)$ лежит на обеих прямых, ее координаты должны удовлетворять обоим уравнениям. Подставим значение $x=0$ в оба уравнения.

Для уравнения (1):
$q \cdot 0 + (2q+3)y + q + 6 = 0$
$(2q+3)y + q + 6 = 0$

Для уравнения (2):
$(2q+1) \cdot 0 + (q-1)y + q - 2 = 0$
$(q-1)y + q - 2 = 0$

Мы получили систему двух уравнений относительно $y$ и $q$. Для того чтобы эти уравнения описывали одну и ту же точку пересечения, значение $y$ должно быть одинаковым в обоих случаях. Выразим $y$ из каждого уравнения, предполагая, что коэффициенты при $y$ не равны нулю.

Из первого уравнения получаем:
$(2q+3)y = -q-6$
$y = \frac{-q-6}{2q+3}$ (при $2q+3 \neq 0$, то есть $q \neq -1.5$)

Из второго уравнения получаем:
$(q-1)y = -q+2$
$y = \frac{2-q}{q-1}$ (при $q-1 \neq 0$, то есть $q \neq 1$)

Приравняем выражения для $y$:
$\frac{-q-6}{2q+3} = \frac{2-q}{q-1}$

Решим это уравнение относительно $q$, используя свойство пропорции (перекрестное умножение):
$(-q-6)(q-1) = (2-q)(2q+3)$
Раскроем скобки в обеих частях равенства:
$-q^2 + q - 6q + 6 = 4q + 6 - 2q^2 - 3q$
$-q^2 - 5q + 6 = -2q^2 + q + 6$
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$-q^2 - 5q + 6 + 2q^2 - q - 6 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(-q^2 + 2q^2) + (-5q - q) + (6 - 6) = 0$
$q^2 - 6q = 0$

Вынесем общий множитель $q$ за скобки:
$q(q-6) = 0$

Это уравнение имеет два корня:
$q_1 = 0$
$q_2 = 6$

Оба найденных значения удовлетворяют ранее установленным ограничениям ($q \neq -1.5$ и $q \neq 1$). При этих значениях $q$ прямые будут пересекаться, а не будут параллельными или совпадающими, так как условие параллельности $\frac{q}{2q+1}=\frac{2q+3}{q-1}$ приводит к квадратному уравнению $q^2+3q+1=0$, корнями которого не являются $0$ и $6$.

Ответ: $q=0$ или $q=6$.