Страница 62 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какой вектор называется направляющим вектором прямой?

2. Какая точка называется начальной точкой прямой? Напишите уравнение прямой по точке и направляющему вектору. Каков смысл ограничения о том, что направляющий вектор не должен быть параллелен осям координат?

3. Напишите уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

4. Что такое вектор нормали прямой? Напишите уравнение прямой по точке и вектору нормали.

5. Напишите по общему уравнению прямой направляющий вектор, вектор нормали и угловой коэффициент этой прямой.

6. По какой формуле определяется угол между прямыми?

7. Как определяется расстояние от точки до прямой?

1. Какой вектор называется направляющим вектором прямой?

Направляющим вектором прямой называется любой ненулевой вектор, который параллелен (коллинеарен) этой прямой. Если прямая задана в пространстве, то ее направление однозначно определяется любым таким вектором.

Ответ:

2. Какая точка называется начальной точкой прямой? Напишите уравнение прямой по точке и направляющему вектору. Каков смысл ограничения о том, что направляющий вектор не должен быть параллелен осям координат?

Начальной точкой прямой можно назвать любую фиксированную точку, принадлежащую этой прямой, через которую она проходит. Обычно она используется в качестве опорной точки для задания уравнения прямой.

Уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(x_0, y_0)$ и имеющей направляющий вектор $\vec{s} = (l, m)$, называется каноническим уравнением прямой и имеет вид:

$\frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m}$

Это уравнение выражает условие коллинеарности вектора $\vec{M_0M} = (x-x_0, y-y_0)$, где $M(x, y)$ — произвольная точка прямой, и направляющего вектора $\vec{s}$.

Ограничение о том, что направляющий вектор не должен быть параллелен осям координат, обычно связано с возможностью представления уравнения прямой в виде уравнения с угловым коэффициентом ($y = kx+b$). Если направляющий вектор $\vec{s} = (l, m)$ параллелен оси ординат (оси OY), то его координата $l=0$. В этом случае каноническое уравнение принимает вид $x-x_0=0$, или $x=x_0$, что является уравнением вертикальной прямой. Угловой коэффициент для такой прямой не определён (считается бесконечным), и ее нельзя записать в виде $y=kx+b$. Если вектор параллелен оси абсцисс (оси OX), то $m=0$, и уравнение прямой — $y=y_0$. В этом случае угловой коэффициент $k=0$, и проблем с записью нет. Таким образом, ограничение чаще всего относится к случаю параллельности оси OY, чтобы избежать деления на ноль при вычислении углового коэффициента $k = m/l$.

Ответ:

3. Напишите уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Пусть даны две различные точки на плоскости: $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$. Прямая, проходящая через эти две точки, может быть задана уравнением:

$\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}$

Это уравнение получено из канонического уравнения прямой. В качестве начальной точки выбрана точка $M_1$, а в качестве направляющего вектора — вектор $\vec{M_1M_2} = (x_2-x_1, y_2-y_1)$.

Ответ:

4. Что такое вектор нормали прямой? Напишите уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Вектором нормали (или нормальным вектором) прямой на плоскости называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный (ортогональный) этой прямой.

Уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(x_0, y_0)$ и имеющей вектор нормали $\vec{n} = (A, B)$, имеет вид:

$A(x-x_0) + B(y-y_0) = 0$

Это уравнение выражает условие ортогональности вектора нормали $\vec{n}$ и вектора $\vec{M_0M} = (x-x_0, y-y_0)$, лежащего на прямой (их скалярное произведение равно нулю).

Ответ:

5. Напишите по общему уравнению прямой направляющий вектор, вектор нормали и угловой коэффициент этой прямой.

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид $Ax + By + C = 0$, где A, B, C — некоторые числа, причем A и B не равны нулю одновременно.

1. Вектор нормали. Коэффициенты при x и y в общем уравнении являются координатами вектора нормали: $\vec{n} = (A, B)$.

2. Направляющий вектор. Направляющий вектор $\vec{s}$ должен быть перпендикулярен вектору нормали $\vec{n}$. Их скалярное произведение должно быть равно нулю. Этому условию удовлетворяет вектор $\vec{s} = (B, -A)$ или $\vec{s} = (-B, A)$.

3. Угловой коэффициент. Чтобы найти угловой коэффициент $k$, нужно выразить $y$ из общего уравнения (при условии, что $B \neq 0$):

$By = -Ax - C$

$y = (-\frac{A}{B})x - \frac{C}{B}$

Отсюда угловой коэффициент $k = -\frac{A}{B}$. Если $B=0$, прямая вертикальна и ее угловой коэффициент не определён.

Ответ:

6. По какой формуле определяется угол между прямыми?

Угол $\phi$ между двумя прямыми можно определить несколькими способами. Угол между прямыми — это наименьший из двух смежных углов, образованных их пересечением ($0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}$).

1. Через векторы нормали. Если прямые заданы общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, то их векторы нормали $\vec{n_1} = (A_1, B_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2)$. Угол между прямыми равен углу между их нормалями. Косинус этого угла вычисляется по формуле:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$

2. Через направляющие векторы. Если прямые заданы направляющими векторами $\vec{s_1} = (l_1, m_1)$ и $\vec{s_2} = (l_2, m_2)$, формула аналогична:

$\cos \phi = \frac{|\vec{s_1} \cdot \vec{s_2}|}{|\vec{s_1}| \cdot |\vec{s_2}|} = \frac{|l_1l_2 + m_1m_2|}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2} \cdot \sqrt{l_2^2 + m_2^2}}$

3. Через угловые коэффициенты. Если прямые невертикальные и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$, то тангенс угла между ними находится по формуле:

$\tan \phi = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2} \right|$

Эта формула не работает, если одна из прямых вертикальна (ее угловой коэффициент не определен).

Ответ:

7. Как определяется расстояние от точки до прямой?

Расстояние $d$ от точки $M_0(x_0, y_0)$ до прямой, заданной общим уравнением $Ax + By + C = 0$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

В числителе этой формулы стоит модуль значения левой части общего уравнения прямой, в которое подставлены координаты точки. В знаменателе — длина (модуль) вектора нормали $\vec{n}=(A,B)$ этой прямой.

Ответ: