Страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.142. Найдите координаты единичного вектора, перпендикулярного вектору $\vec{a}=(a; b)$.

Пусть искомый единичный вектор имеет координаты $\vec{e} = (x; y)$.
По условию задачи, этот вектор должен удовлетворять двум требованиям:

1. Вектор $\vec{e}$ должен быть перпендикулярен вектору $\vec{a} = (a; b)$.
Условие перпендикулярности двух векторов заключается в том, что их скалярное произведение равно нулю.

$\vec{a} \cdot \vec{e} = 0$
$a \cdot x + b \cdot y = 0$

Из этого уравнения можно выразить одну координату через другую. Например, $by = -ax$. Если $b \ne 0$, то $y = -\frac{a}{b}x$.
Удобно выбрать одно из частных ненулевых решений этого уравнения. Например, пусть $x = -b$, тогда $a(-b) + by = 0$, откуда $by=ab$, и если $b \ne 0$, то $y=a$. Если же $b=0$, то $ax=0$, и так как вектор $\vec{a}$ не нулевой, $a \ne 0$, следовательно $x=0$, а $y$ может быть любым. Вектор $(0, a)$ будет перпендикулярен вектору $(a, 0)$. Аналогично, если $a=0$, то вектор $(-b, 0)$ перпендикулярен вектору $(0, b)$.Таким образом, вектор $\vec{p} = (-b; a)$ всегда перпендикулярен вектору $\vec{a} = (a; b)$. Любой другой вектор, перпендикулярный $\vec{a}$, будет коллинеарен вектору $\vec{p}$.

2. Вектор $\vec{e}$ должен быть единичным.
Это означает, что его длина (модуль) равна 1.

$|\vec{e}| = \sqrt{x^2 + y^2} = 1$

Мы нашли, что любой вектор, перпендикулярный $\vec{a}$, имеет вид $k \cdot \vec{p} = k(-b; a) = (-kb; ka)$ для некоторого числа $k$. Нам нужно найти такое $k$, чтобы этот вектор был единичным.

Найдем модуль вектора $k \cdot \vec{p}$:

$|k \cdot \vec{p}| = \sqrt{(-kb)^2 + (ka)^2} = \sqrt{k^2b^2 + k^2a^2} = \sqrt{k^2(a^2 + b^2)} = |k|\sqrt{a^2 + b^2}$

Приравняем модуль к единице:

$|k|\sqrt{a^2 + b^2} = 1$

Отсюда находим $|k|$ (предполагая, что вектор $\vec{a}$ не является нулевым, то есть $a^2 + b^2 \ne 0$):

$|k| = \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Это дает нам два возможных значения для $k$:

$k_1 = \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}$ и $k_2 = -\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Подставив эти значения $k$ в координаты вектора $(-kb; ka)$, мы получим два искомых единичных вектора, перпендикулярных вектору $\vec{a}$:

При $k_1 = \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}$:

$\vec{e}_1 = \left(-\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}; \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$

При $k_2 = -\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}$:

$\vec{e}_2 = \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}; -\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$

Эти два вектора противоположно направлены.

Ответ: $\left(-\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}; \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$ или $\left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}; -\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$.

1.143. Даны точки A(-1; 2), B(-2; -3), C(1; 4), D(4; 2).

Найдите значение выражения:

1) $\vec{AB} \cdot \vec{CD}$

2) $\vec{AD} \cdot \vec{CB}$

3) $(\vec{AB} + \vec{CD})(\vec{AC} - \vec{BD})$

4) $(2\vec{AD} - \vec{BC})(\vec{CB} - \vec{CD})$

Для решения задачи сначала найдем координаты необходимых векторов. Даны точки A(-1; 2), B(-2; -3), C(1; 4), D(4; 2). Координаты вектора $\vec{XY}$, где $X(x_1; y_1)$ и $Y(x_2; y_2)$, вычисляются по формуле $\vec{XY} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

$\vec{AB} = (-2 - (-1); -3 - 2) = (-1; -5)$
$\vec{CD} = (4 - 1; 2 - 4) = (3; -2)$
$\vec{AD} = (4 - (-1); 2 - 2) = (5; 0)$
$\vec{AC} = (1 - (-1); 4 - 2) = (2; 2)$
$\vec{BD} = (4 - (-2); 2 - (-3)) = (6; 5)$
$\vec{BC} = (1 - (-2); 4 - (-3)) = (3; 7)$
$\vec{CB} = (-2 - 1; -3 - 4) = (-3; -7)$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}=(a_x; a_y)$ и $\vec{b}=(b_x; b_y)$ находится по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$.

1) $\vec{AB} \cdot \vec{CD}$
Подставляем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ в формулу скалярного произведения:
$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-1) \cdot 3 + (-5) \cdot (-2) = -3 + 10 = 7$.
Ответ: 7

2) $\vec{AD} \cdot \vec{CB}$
Подставляем координаты векторов $\vec{AD}$ и $\vec{CB}$:
$\vec{AD} \cdot \vec{CB} = 5 \cdot (-3) + 0 \cdot (-7) = -15 + 0 = -15$.
Ответ: -15

3) $(\vec{AB} + \vec{CD})(\vec{AC} - \vec{BD})$
Сначала найдем координаты результирующих векторов:
$\vec{AB} + \vec{CD} = (-1 + 3; -5 - 2) = (2; -7)$.
$\vec{AC} - \vec{BD} = (2 - 6; 2 - 5) = (-4; -3)$.
Теперь найдем их скалярное произведение:
$(2; -7) \cdot (-4; -3) = 2 \cdot (-4) + (-7) \cdot (-3) = -8 + 21 = 13$.
Ответ: 13

4) $(2\vec{AD} - \vec{BC})(\vec{CB} - \vec{CD})$
Сначала найдем координаты результирующих векторов:
$2\vec{AD} - \vec{BC} = (2 \cdot 5 - 3; 2 \cdot 0 - 7) = (10 - 3; 0 - 7) = (7; -7)$.
$\vec{CB} - \vec{CD} = (-3 - 3; -7 - (-2)) = (-6; -5)$.
Теперь найдем их скалярное произведение:
$(7; -7) \cdot (-6; -5) = 7 \cdot (-6) + (-7) \cdot (-5) = -42 + 35 = -7$.
Ответ: -7

1.144. Точки K и N — середины сторон CD и BC соответственно квадрата ABCD со стороной a. Найдите значение скалярного произведения:

1) $\vec{AB} \cdot \vec{DC}$

2) $\vec{AD} \cdot \vec{CB}$

3) $\vec{BC} \cdot \vec{DC}$

4) $\vec{AC} \cdot \vec{AB}$

5) $\vec{AC} \cdot \vec{DC}$

6) $\vec{AC} \cdot \vec{CD}$

7) $\vec{AC} \cdot \vec{BD}$

8) $\vec{AK} \cdot \vec{AN}$

9) $(\vec{AB} + \vec{AD})(\vec{CD} - \vec{CB})$

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0, 0)$. Поскольку $ABCD$ — квадрат со стороной $a$, расположим его вершины следующим образом: $A(0, 0)$, $B(a, 0)$, $C(a, a)$, $D(0, a)$.

Точка $K$ — середина стороны $CD$. Ее координаты: $K(\frac{0+a}{2}, \frac{a+a}{2}) = K(\frac{a}{2}, a)$.

Точка $N$ — середина стороны $BC$. Ее координаты: $N(\frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}) = N(a, \frac{a}{2})$.

Визуализируем задачу:

Скалярное произведение векторов $\vec{u}=(x_1, y_1)$ и $\vec{v}=(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2$. Также можно использовать формулу $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.

Найдем координаты необходимых векторов:
$\vec{AB} = (a-0, 0-0) = (a, 0)$
$\vec{AD} = (0-0, a-0) = (0, a)$
$\vec{DC} = (a-0, a-a) = (a, 0)$
$\vec{CB} = (a-a, 0-a) = (0, -a)$
$\vec{BC} = (a-a, a-0) = (0, a)$
$\vec{CD} = (0-a, a-a) = (-a, 0)$
$\vec{AC} = (a-0, a-0) = (a, a)$
$\vec{BD} = (0-a, a-0) = (-a, a)$
$\vec{AK} = (\frac{a}{2}-0, a-0) = (\frac{a}{2}, a)$
$\vec{AN} = (a-0, \frac{a}{2}-0) = (a, \frac{a}{2})$

1) $\vec{AB} \cdot \vec{DC}$
Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены (коллинеарны и направлены в одну сторону), угол между ними $0^\circ$. Длины векторов равны $a$.
$\vec{AB} \cdot \vec{DC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{DC}| \cdot \cos(0^\circ) = a \cdot a \cdot 1 = a^2$.
Или через координаты: $\vec{AB} \cdot \vec{DC} = (a, 0) \cdot (a, 0) = a \cdot a + 0 \cdot 0 = a^2$.
Ответ: $a^2$

2) $\vec{AD} \cdot \vec{CB}$
Векторы $\vec{AD}$ и $\vec{CB}$ противоположно направлены, угол между ними $180^\circ$. Длины векторов равны $a$.
$\vec{AD} \cdot \vec{CB} = |\vec{AD}| \cdot |\vec{CB}| \cdot \cos(180^\circ) = a \cdot a \cdot (-1) = -a^2$.
Или через координаты: $\vec{AD} \cdot \vec{CB} = (0, a) \cdot (0, -a) = 0 \cdot 0 + a \cdot (-a) = -a^2$.
Ответ: $-a^2$

3) $\vec{BC} \cdot \vec{DC}$
Стороны $BC$ и $DC$ перпендикулярны. Если совместить начала векторов, например, в точке $C$, то угол между ними будет $90^\circ$.
$\vec{BC} \cdot \vec{DC} = |\vec{BC}| \cdot |\vec{DC}| \cdot \cos(90^\circ) = a \cdot a \cdot 0 = 0$.
Или через координаты: $\vec{BC} \cdot \vec{DC} = (0, a) \cdot (a, 0) = 0 \cdot a + a \cdot 0 = 0$.
Ответ: $0$

4) $\vec{AC} \cdot \vec{AB}$
Вектор $\vec{AC}$ является диагональю квадрата. Угол между диагональю и стороной квадрата равен $45^\circ$. Длина $|\vec{AC}| = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$. Длина $|\vec{AB}| = a$.
$\vec{AC} \cdot \vec{AB} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \cos(45^\circ) = a\sqrt{2} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a^2 \frac{2}{2} = a^2$.
Или через координаты: $\vec{AC} \cdot \vec{AB} = (a, a) \cdot (a, 0) = a \cdot a + a \cdot 0 = a^2$.
Ответ: $a^2$

5) $\vec{AC} \cdot \vec{DC}$
Векторы $\vec{DC}$ и $\vec{AB}$ равны, так как это противоположные стороны квадрата. Поэтому $\vec{AC} \cdot \vec{DC} = \vec{AC} \cdot \vec{AB}$. Из предыдущего пункта результат равен $a^2$.
Или через координаты: $\vec{AC} \cdot \vec{DC} = (a, a) \cdot (a, 0) = a \cdot a + a \cdot 0 = a^2$.
Ответ: $a^2$

6) $\vec{AC} \cdot \vec{CD}$
Вектор $\vec{CD}$ противоположен вектору $\vec{DC}$, то есть $\vec{CD} = -\vec{DC}$.
$\vec{AC} \cdot \vec{CD} = \vec{AC} \cdot (-\vec{DC}) = -(\vec{AC} \cdot \vec{DC}) = -a^2$.
Или через координаты: $\vec{AC} \cdot \vec{CD} = (a, a) \cdot (-a, 0) = a \cdot (-a) + a \cdot 0 = -a^2$.
Ответ: $-a^2$

7) $\vec{AC} \cdot \vec{BD}$
Диагонали квадрата $AC$ и $BD$ перпендикулярны, угол между ними $90^\circ$.
$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}| \cdot \cos(90^\circ) = a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot 0 = 0$.
Или через координаты: $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (a, a) \cdot (-a, a) = a \cdot (-a) + a \cdot a = -a^2 + a^2 = 0$.
Ответ: $0$

8) $\vec{AK} \cdot \vec{AN}$
Используем координаты векторов $\vec{AK} = (\frac{a}{2}, a)$ и $\vec{AN} = (a, \frac{a}{2})$.
$\vec{AK} \cdot \vec{AN} = \frac{a}{2} \cdot a + a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} = a^2$.
Ответ: $a^2$

9) $(\vec{AB} + \vec{AD})(\vec{CD} - \vec{CB})$
Упростим векторные выражения в скобках.
По правилу параллелограмма: $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.
Разность векторов: $\vec{CD} - \vec{CB} = \vec{CD} + \vec{BC}$. По правилу треугольника (последовательного сложения): $\vec{BC} + \vec{CD} = \vec{BD}$.
Таким образом, искомое скалярное произведение равно $\vec{AC} \cdot \vec{BD}$.
Из пункта 7 мы знаем, что $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$.
Ответ: $0$

1.145. Точки K и N — середины сторон BC и AC соответственно равностороннего треугольника ABC со стороной, равной 2. Найдите значение выражения:

1) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$;

2) $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$;

3) $\vec{BC} \cdot \vec{AC}$;

4) $(\vec{AB} + \vec{BC}) \cdot (\vec{AC} - \vec{AB})$;

5) $\vec{AK} \cdot \vec{BC}$;

6) $\vec{AK} \cdot \vec{BN}$;

7) $(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA})\vec{KN}$.

По условию задачи дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a=2$. Это означает, что длины сторон равны $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{AC}| = 2$, а все внутренние углы равны $60^\circ$. Точки $K$ и $N$ — середины сторон $BC$ и $AC$ соответственно.

1) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$

Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ — это угол при вершине $A$, то есть $\angle BAC = 60^\circ$.

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$.

Ответ: $2$.

2) $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$

Чтобы найти угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, их нужно отложить от одной точки. Если перенести вектор $\vec{BC}$ так, чтобы его начало совпало с точкой $A$, то угол между вектором $\vec{AB}$ и перенесенным вектором будет равен внешнему углу треугольника при вершине $B$, то есть $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(120^\circ) = 2 \cdot 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2$.

Альтернативный способ: $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = \vec{AB} \cdot (\vec{AC} - \vec{AB}) = \vec{AB} \cdot \vec{AC} - \vec{AB} \cdot \vec{AB} = \vec{AB} \cdot \vec{AC} - |\vec{AB}|^2 = 2 - 2^2 = 2 - 4 = -2$.

Ответ: $-2$.

3) $\vec{BC} \cdot \vec{AC}$

Для нахождения угла между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$ удобно заменить их на противоположные векторы, отложенные от вершины $C$: $\vec{CB}$ и $\vec{CA}$. Угол между ними $\angle BCA = 60^\circ$.

$\vec{BC} \cdot \vec{AC} = (-\vec{CB}) \cdot (-\vec{CA}) = \vec{CB} \cdot \vec{CA} = |\vec{CB}| \cdot |\vec{CA}| \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$.

Ответ: $2$.

4) $(\vec{AB} + \vec{BC}) \cdot (\vec{AC} - \vec{AB})$

Упростим выражения в скобках, используя правила сложения и вычитания векторов.

По правилу треугольника: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

По правилу вычитания векторов: $\vec{AC} - \vec{AB} = \vec{BC}$.

Тогда исходное выражение принимает вид: $\vec{AC} \cdot \vec{BC}$.

Скалярное произведение коммутативно, поэтому $\vec{AC} \cdot \vec{BC} = \vec{BC} \cdot \vec{AC}$, что было вычислено в пункте 3.

$(\vec{AB} + \vec{BC}) \cdot (\vec{AC} - \vec{AB}) = \vec{AC} \cdot \vec{BC} = 2$.

Ответ: $2$.

5) $\vec{AK} \cdot \vec{BC}$

Вектор $\vec{AK}$ является медианой треугольника $ABC$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, его медиана $AK$ также является высотой. Следовательно, $AK \perp BC$, и угол между векторами $\vec{AK}$ и $\vec{BC}$ равен $90^\circ$.

$\vec{AK} \cdot \vec{BC} = |\vec{AK}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(90^\circ) = |\vec{AK}| \cdot 2 \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$.

6) $\vec{AK} \cdot \vec{BN}$

Выразим векторы $\vec{AK}$ и $\vec{BN}$ через базисные векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

$K$ — середина $BC$, поэтому $\vec{AK} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$.

$N$ — середина $AC$, поэтому $\vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{AC}$. Тогда $\vec{BN} = \vec{AN} - \vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{AC} - \vec{AB}$.

Теперь найдем скалярное произведение:

$\vec{AK} \cdot \vec{BN} = \left(\frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\vec{AC} - \vec{AB}\right) = \frac{1}{2} (\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot (\frac{1}{2}\vec{AC} - \vec{AB})$

$\frac{1}{2} \left( \vec{AB} \cdot \frac{1}{2}\vec{AC} - \vec{AB} \cdot \vec{AB} + \vec{AC} \cdot \frac{1}{2}\vec{AC} - \vec{AC} \cdot \vec{AB} \right)$

$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}(\vec{AB} \cdot \vec{AC}) - |\vec{AB}|^2 + \frac{1}{2}|\vec{AC}|^2 - (\vec{AC} \cdot \vec{AB}) \right)$

Подставим известные значения: $|\vec{AB}|^2 = 2^2 = 4$, $|\vec{AC}|^2 = 2^2 = 4$, и $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2$.

$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}(2) - 4 + \frac{1}{2}(4) - 2 \right) = \frac{1}{2} (1 - 4 + 2 - 2) = \frac{1}{2} (-3) = -1.5$.

Ответ: $-1.5$.

7) $(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA}) \cdot \vec{KN}$

Рассмотрим сумму векторов в скобках: $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA}$.

Сумма векторов, образующих замкнутый контур (начало последнего вектора совпадает с началом первого), равна нулевому вектору.

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Тогда $\vec{AC} + \vec{CA} = \vec{AC} + (-\vec{AC}) = \vec{0}$.

Скалярное произведение любого вектора (в данном случае $\vec{KN}$) на нулевой вектор равно нулю.

$(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA}) \cdot \vec{KN} = \vec{0} \cdot \vec{KN} = 0$.

Ответ: $0$.

1.146. Даны векторы $\vec{m} = (1; 0)$ и $\vec{n} = (0; 1)$. Являются ли перпендикулярными векторы: $2\vec{m} + \vec{n}$ и $\vec{m} - 2\vec{n}$?

Для того чтобы определить, являются ли два вектора перпендикулярными, необходимо найти их скалярное произведение. Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Пусть даны векторы $\vec{a} = 2\vec{m} + \vec{n}$ и $\vec{b} = \vec{m} - 2\vec{n}$.

Сначала найдем координаты этих векторов, используя исходные данные $\vec{m} = (1; 0)$ и $\vec{n} = (0; 1)$.

Координаты вектора $\vec{a}$:

$\vec{a} = 2\vec{m} + \vec{n} = 2 \cdot (1; 0) + (0; 1) = (2 \cdot 1; 2 \cdot 0) + (0; 1) = (2; 0) + (0; 1) = (2+0; 0+1) = (2; 1)$.

Координаты вектора $\vec{b}$:

$\vec{b} = \vec{m} - 2\vec{n} = (1; 0) - 2 \cdot (0; 1) = (1; 0) - (2 \cdot 0; 2 \cdot 1) = (1; 0) - (0; 2) = (1-0; 0-2) = (1; -2)$.

Теперь вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Скалярное произведение векторов с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $x_1x_2 + y_1y_2$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2; 1) \cdot (1; -2) = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) = 2 - 2 = 0$.

Так как скалярное произведение векторов $2\vec{m} + \vec{n}$ и $\vec{m} - 2\vec{n}$ равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.

Ответ: да, являются.

1.147. В параллелограмме ABCD дано: $\vec{AB} = 2\vec{a} - \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{a} + 3\vec{b}$, $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=2$, $(\vec{a}, \vec{b})=60^\circ$. Найдите длины отрезков AC и BD.

Для нахождения длин диагоналей $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ необходимо выразить векторы диагоналей $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ через векторы его сторон $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$, а затем найти их модули (длины).

Векторы диагоналей параллелограмма выражаются через векторы его смежных сторон по правилу сложения и вычитания векторов:$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$

Подставим в эти формулы выражения для векторов сторон, данные в условии: $\vec{AB} = 2\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{AD} = \vec{a} + 3\vec{b}$.

Для диагонали $AC$:$\vec{AC} = (2\vec{a} - \vec{b}) + (\vec{a} + 3\vec{b}) = 3\vec{a} + 2\vec{b}$

Для диагонали $BD$:$\vec{BD} = (\vec{a} + 3\vec{b}) - (2\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} + 3\vec{b} - 2\vec{a} + \vec{b} = -\vec{a} + 4\vec{b}$

Длина вектора равна корню из его скалярного квадрата. Для вычисления скалярных квадратов векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ нам понадобится скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. По определению скалярного произведения:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$Подставим известные значения: $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=2$, $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})=60^\circ$:$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$.

Длина отрезка AC

Найдем скалярный квадрат вектора $\vec{AC}$:$|\vec{AC}|^2 = (3\vec{a} + 2\vec{b})^2 = (3\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (3\vec{a} + 2\vec{b}) = 9(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 9|\vec{a}|^2 + 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2$.Подставим известные значения $|\vec{a}|^2 = 3^2 = 9$, $|\vec{b}|^2 = 2^2 = 4$ и $\vec{a} \cdot \vec{b}=3$:$|\vec{AC}|^2 = 9 \cdot 9 + 12 \cdot 3 + 4 \cdot 4 = 81 + 36 + 16 = 133$.Длина отрезка $AC$ равна $AC = |\vec{AC}| = \sqrt{133}$.

Ответ: $\sqrt{133}$.

Длина отрезка BD

Найдем скалярный квадрат вектора $\vec{BD}$:$|\vec{BD}|^2 = (-\vec{a} + 4\vec{b})^2 = (-\vec{a} + 4\vec{b}) \cdot (-\vec{a} + 4\vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{a}) - 8(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 16(\vec{b} \cdot \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 8(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 16|\vec{b}|^2$.Подставим известные значения:$|\vec{BD}|^2 = 3^2 - 8 \cdot 3 + 16 \cdot 2^2 = 9 - 24 + 16 \cdot 4 = 9 - 24 + 64 = 49$.Длина отрезка $BD$ равна $BD = |\vec{BD}| = \sqrt{49} = 7$.

Ответ: $7$.

1.148. Даны точки A(1; 1), B(4; 1), C(4; 5). Найдите косинусы углов треугольника ABC.

Для нахождения косинусов углов треугольника $ABC$ воспользуемся координатным методом. Косинус угла между двумя векторами можно найти через их скалярное произведение и длины по формуле:

$ \cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} $

Сначала найдем координаты векторов, образующих стороны треугольника, и их длины.

Координаты вершин: $A(1; 1)$, $B(4; 1)$, $C(4; 5)$.

Косинус угла A

Угол $A$ образован векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (4 - 1; 1 - 1) = (3; 0)$

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (4 - 1; 5 - 1) = (3; 4)$

Найдем длины этих векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$

$|\vec{AC}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \cdot 3 + 0 \cdot 4 = 9$

Теперь вычислим косинус угла $A$:

$\cos(A) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{9}{3 \cdot 5} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$

Ответ: $\cos(A) = \frac{3}{5}$.

Косинус угла B

Угол $B$ образован векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{BA} = (x_A - x_B; y_A - y_B) = (1 - 4; 1 - 1) = (-3; 0)$

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (4 - 4; 5 - 1) = (0; 4)$

Найдем длины этих векторов:

$|\vec{BA}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$

$|\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-3) \cdot 0 + 0 \cdot 4 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, то есть угол $B$ равен $90^\circ$. Косинус этого угла равен нулю.

$\cos(B) = \frac{0}{3 \cdot 4} = 0$

Ответ: $\cos(B) = 0$.

Косинус угла C

Угол $C$ образован векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{CA} = (x_A - x_C; y_A - y_C) = (1 - 4; 1 - 5) = (-3; -4)$

$\vec{CB} = (x_B - x_C; y_B - y_C) = (4 - 4; 1 - 5) = (0; -4)$

Найдем длины этих векторов:

$|\vec{CA}| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

$|\vec{CB}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-3) \cdot 0 + (-4) \cdot (-4) = 16$

Теперь вычислим косинус угла $C$:

$\cos(C) = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|} = \frac{16}{5 \cdot 4} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\cos(C) = \frac{4}{5}$.

1.149. Найдите углы треугольника с вершинами в точках $A(0; \sqrt{3})$, $B(2; \sqrt{3})$, $C(\frac{3}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Для нахождения углов треугольника с вершинами в точках $A(0; \sqrt{3})$, $B(2; \sqrt{3})$ и $C(\frac{3}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, сначала вычислим длины его сторон. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Длина стороны $AB$ вычисляется как:
$AB = \sqrt{(2 - 0)^2 + (\sqrt{3} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.

Длина стороны $BC$ вычисляется как:
$BC = \sqrt{(\frac{3}{2} - 2)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

Длина стороны $AC$ вычисляется как:
$AC = \sqrt{(\frac{3}{2} - 0)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$.

Итак, мы имеем треугольник со сторонами $AB=2$, $BC=1$ и $AC=\sqrt{3}$. Чтобы найти углы, воспользуемся теоремой косинусов, которая для угла $A$ имеет вид: $\cos(A) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}$.

Вычислим косинус угла $A$ ($\angle BAC$):
$\cos(\angle A) = \frac{2^2 + (\sqrt{3})^2 - 1^2}{2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}} = \frac{4 + 3 - 1}{4\sqrt{3}} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Отсюда находим, что $\angle A = 30^\circ$.

Вычислим косинус угла $B$ ($\angle ABC$):
$\cos(\angle B) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{2^2 + 1^2 - (\sqrt{3})^2}{2 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{4 + 1 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Отсюда находим, что $\angle B = 60^\circ$.

Вычислим косинус угла $C$ ($\angle ACB$):
$\cos(\angle C) = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 1^2 - 2^2}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{3 + 1 - 4}{2\sqrt{3}} = \frac{0}{2\sqrt{3}} = 0$.
Отсюда находим, что $\angle C = 90^\circ$.

Для проверки убедимся, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$: $30^\circ + 60^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Ответ: углы треугольника равны $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$.

1.150. Даны точки $A(1; 1)$, $B(2; 3)$, $C(0; 4)$, $D(-1; 2)$. Докажите, что четырехугольник $ABCD$ – прямоугольник.

Для доказательства того, что четырехугольник, заданный координатами вершин A(1; 1), B(2; 3), C(0; 4) и D(-1; 2), является прямоугольником, можно использовать несколько способов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Через свойства диагоналей

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого диагонали равны. Докажем последовательно оба этих свойства для четырехугольника ABCD.

1. Доказательство того, что ABCD — параллелограмм.

Четырехугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Это равносильно тому, что середины его диагоналей совпадают. Найдем координаты середин диагоналей AC и BD.

Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ находятся по формулам: $x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

Найдем середину диагонали AC, где A(1; 1) и C(0; 4):

$x_{AC} = \frac{1 + 0}{2} = \frac{1}{2}$

$y_{AC} = \frac{1 + 4}{2} = \frac{5}{2}$

Середина диагонали AC имеет координаты $(\frac{1}{2}; \frac{5}{2})$.

Найдем середину диагонали BD, где B(2; 3) и D(-1; 2):

$x_{BD} = \frac{2 + (-1)}{2} = \frac{1}{2}$

$y_{BD} = \frac{3 + 2}{2} = \frac{5}{2}$

Середина диагонали BD имеет координаты $(\frac{1}{2}; \frac{5}{2})$.

Поскольку координаты середин диагоналей AC и BD совпадают, делаем вывод, что ABCD — параллелограмм.

2. Доказательство равенства длин диагоналей.

Теперь необходимо проверить, равны ли длины диагоналей этого параллелограмма. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Длина диагонали AC:

$|AC| = \sqrt{(0 - 1)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.

Длина диагонали BD:

$|BD| = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.

Так как $|AC| = |BD| = \sqrt{10}$, диагонали четырехугольника равны.

Поскольку ABCD является параллелограммом с равными диагоналями, он является прямоугольником.

Способ 2: Векторный метод

Можно также доказать, что ABCD является параллелограммом, у которого есть прямой угол.

1. Доказательство того, что ABCD — параллелограмм.

Проверим равенство векторов, представляющих противоположные стороны, например $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$. Координаты вектора $\vec{PQ}$ с началом P$(x_P, y_P)$ и концом Q$(x_Q, y_Q)$ равны $(x_Q - x_P, y_Q - y_P)$.

$\vec{AB} = (2-1; 3-1) = (1; 2)$

$\vec{DC} = (0-(-1); 4-2) = (1; 2)$

Так как $\vec{AB} = \vec{DC}$, то ABCD — параллелограмм.

2. Доказательство наличия прямого угла.

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Проверим перпендикулярность смежных сторон, например, AB и AD.

Найдем координаты вектора $\vec{AD}$:

$\vec{AD} = (-1-1; 2-1) = (-2; 1)$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = -2 + 2 = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ перпендикулярны, следовательно, угол $\angle DAB$ — прямой.

Так как ABCD — параллелограмм с прямым углом, он является прямоугольником.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник ABCD является прямоугольником, так как он является параллелограммом (его диагонали имеют общую середину в точке $(\frac{1}{2}; \frac{5}{2})$) и его диагонали равны ($|AC| = |BD| = \sqrt{10}$). Альтернативно, это параллелограмм ($\vec{AB} = \vec{DC}$), у которого смежные стороны перпендикулярны ($\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0$), что также доказывает, что это прямоугольник.