Номер 1.147, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.147. В параллелограмме ABCD дано: $\vec{AB} = 2\vec{a} - \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{a} + 3\vec{b}$, $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=2$, $(\vec{a}, \vec{b})=60^\circ$. Найдите длины отрезков AC и BD.

Для нахождения длин диагоналей $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ необходимо выразить векторы диагоналей $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ через векторы его сторон $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$, а затем найти их модули (длины).

Векторы диагоналей параллелограмма выражаются через векторы его смежных сторон по правилу сложения и вычитания векторов:$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$

Подставим в эти формулы выражения для векторов сторон, данные в условии: $\vec{AB} = 2\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{AD} = \vec{a} + 3\vec{b}$.

Для диагонали $AC$:$\vec{AC} = (2\vec{a} - \vec{b}) + (\vec{a} + 3\vec{b}) = 3\vec{a} + 2\vec{b}$

Для диагонали $BD$:$\vec{BD} = (\vec{a} + 3\vec{b}) - (2\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} + 3\vec{b} - 2\vec{a} + \vec{b} = -\vec{a} + 4\vec{b}$

Длина вектора равна корню из его скалярного квадрата. Для вычисления скалярных квадратов векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ нам понадобится скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. По определению скалярного произведения:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$Подставим известные значения: $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=2$, $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})=60^\circ$:$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$.

Длина отрезка AC

Найдем скалярный квадрат вектора $\vec{AC}$:$|\vec{AC}|^2 = (3\vec{a} + 2\vec{b})^2 = (3\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (3\vec{a} + 2\vec{b}) = 9(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 9|\vec{a}|^2 + 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2$.Подставим известные значения $|\vec{a}|^2 = 3^2 = 9$, $|\vec{b}|^2 = 2^2 = 4$ и $\vec{a} \cdot \vec{b}=3$:$|\vec{AC}|^2 = 9 \cdot 9 + 12 \cdot 3 + 4 \cdot 4 = 81 + 36 + 16 = 133$.Длина отрезка $AC$ равна $AC = |\vec{AC}| = \sqrt{133}$.

Ответ: $\sqrt{133}$.

Длина отрезка BD

Найдем скалярный квадрат вектора $\vec{BD}$:$|\vec{BD}|^2 = (-\vec{a} + 4\vec{b})^2 = (-\vec{a} + 4\vec{b}) \cdot (-\vec{a} + 4\vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{a}) - 8(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 16(\vec{b} \cdot \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 8(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 16|\vec{b}|^2$.Подставим известные значения:$|\vec{BD}|^2 = 3^2 - 8 \cdot 3 + 16 \cdot 2^2 = 9 - 24 + 16 \cdot 4 = 9 - 24 + 64 = 49$.Длина отрезка $BD$ равна $BD = |\vec{BD}| = \sqrt{49} = 7$.

Ответ: $7$.