Номер 1.149, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.149. Найдите углы треугольника с вершинами в точках $A(0; \sqrt{3})$, $B(2; \sqrt{3})$, $C(\frac{3}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Для нахождения углов треугольника с вершинами в точках $A(0; \sqrt{3})$, $B(2; \sqrt{3})$ и $C(\frac{3}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, сначала вычислим длины его сторон. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Длина стороны $AB$ вычисляется как:
$AB = \sqrt{(2 - 0)^2 + (\sqrt{3} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.

Длина стороны $BC$ вычисляется как:
$BC = \sqrt{(\frac{3}{2} - 2)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

Длина стороны $AC$ вычисляется как:
$AC = \sqrt{(\frac{3}{2} - 0)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$.

Итак, мы имеем треугольник со сторонами $AB=2$, $BC=1$ и $AC=\sqrt{3}$. Чтобы найти углы, воспользуемся теоремой косинусов, которая для угла $A$ имеет вид: $\cos(A) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}$.

Вычислим косинус угла $A$ ($\angle BAC$):
$\cos(\angle A) = \frac{2^2 + (\sqrt{3})^2 - 1^2}{2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}} = \frac{4 + 3 - 1}{4\sqrt{3}} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Отсюда находим, что $\angle A = 30^\circ$.

Вычислим косинус угла $B$ ($\angle ABC$):
$\cos(\angle B) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{2^2 + 1^2 - (\sqrt{3})^2}{2 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{4 + 1 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Отсюда находим, что $\angle B = 60^\circ$.

Вычислим косинус угла $C$ ($\angle ACB$):
$\cos(\angle C) = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 1^2 - 2^2}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{3 + 1 - 4}{2\sqrt{3}} = \frac{0}{2\sqrt{3}} = 0$.
Отсюда находим, что $\angle C = 90^\circ$.

Для проверки убедимся, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$: $30^\circ + 60^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Ответ: углы треугольника равны $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$.