Номер 1.144, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.144. Точки K и N — середины сторон CD и BC соответственно квадрата ABCD со стороной a. Найдите значение скалярного произведения:

1) $\vec{AB} \cdot \vec{DC}$

2) $\vec{AD} \cdot \vec{CB}$

3) $\vec{BC} \cdot \vec{DC}$

4) $\vec{AC} \cdot \vec{AB}$

5) $\vec{AC} \cdot \vec{DC}$

6) $\vec{AC} \cdot \vec{CD}$

7) $\vec{AC} \cdot \vec{BD}$

8) $\vec{AK} \cdot \vec{AN}$

9) $(\vec{AB} + \vec{AD})(\vec{CD} - \vec{CB})$

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0, 0)$. Поскольку $ABCD$ — квадрат со стороной $a$, расположим его вершины следующим образом: $A(0, 0)$, $B(a, 0)$, $C(a, a)$, $D(0, a)$.

Точка $K$ — середина стороны $CD$. Ее координаты: $K(\frac{0+a}{2}, \frac{a+a}{2}) = K(\frac{a}{2}, a)$.

Точка $N$ — середина стороны $BC$. Ее координаты: $N(\frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}) = N(a, \frac{a}{2})$.

Визуализируем задачу:

Скалярное произведение векторов $\vec{u}=(x_1, y_1)$ и $\vec{v}=(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2$. Также можно использовать формулу $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.

Найдем координаты необходимых векторов:
$\vec{AB} = (a-0, 0-0) = (a, 0)$
$\vec{AD} = (0-0, a-0) = (0, a)$
$\vec{DC} = (a-0, a-a) = (a, 0)$
$\vec{CB} = (a-a, 0-a) = (0, -a)$
$\vec{BC} = (a-a, a-0) = (0, a)$
$\vec{CD} = (0-a, a-a) = (-a, 0)$
$\vec{AC} = (a-0, a-0) = (a, a)$
$\vec{BD} = (0-a, a-0) = (-a, a)$
$\vec{AK} = (\frac{a}{2}-0, a-0) = (\frac{a}{2}, a)$
$\vec{AN} = (a-0, \frac{a}{2}-0) = (a, \frac{a}{2})$

1) $\vec{AB} \cdot \vec{DC}$
Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены (коллинеарны и направлены в одну сторону), угол между ними $0^\circ$. Длины векторов равны $a$.
$\vec{AB} \cdot \vec{DC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{DC}| \cdot \cos(0^\circ) = a \cdot a \cdot 1 = a^2$.
Или через координаты: $\vec{AB} \cdot \vec{DC} = (a, 0) \cdot (a, 0) = a \cdot a + 0 \cdot 0 = a^2$.
Ответ: $a^2$

2) $\vec{AD} \cdot \vec{CB}$
Векторы $\vec{AD}$ и $\vec{CB}$ противоположно направлены, угол между ними $180^\circ$. Длины векторов равны $a$.
$\vec{AD} \cdot \vec{CB} = |\vec{AD}| \cdot |\vec{CB}| \cdot \cos(180^\circ) = a \cdot a \cdot (-1) = -a^2$.
Или через координаты: $\vec{AD} \cdot \vec{CB} = (0, a) \cdot (0, -a) = 0 \cdot 0 + a \cdot (-a) = -a^2$.
Ответ: $-a^2$

3) $\vec{BC} \cdot \vec{DC}$
Стороны $BC$ и $DC$ перпендикулярны. Если совместить начала векторов, например, в точке $C$, то угол между ними будет $90^\circ$.
$\vec{BC} \cdot \vec{DC} = |\vec{BC}| \cdot |\vec{DC}| \cdot \cos(90^\circ) = a \cdot a \cdot 0 = 0$.
Или через координаты: $\vec{BC} \cdot \vec{DC} = (0, a) \cdot (a, 0) = 0 \cdot a + a \cdot 0 = 0$.
Ответ: $0$

4) $\vec{AC} \cdot \vec{AB}$
Вектор $\vec{AC}$ является диагональю квадрата. Угол между диагональю и стороной квадрата равен $45^\circ$. Длина $|\vec{AC}| = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$. Длина $|\vec{AB}| = a$.
$\vec{AC} \cdot \vec{AB} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \cos(45^\circ) = a\sqrt{2} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a^2 \frac{2}{2} = a^2$.
Или через координаты: $\vec{AC} \cdot \vec{AB} = (a, a) \cdot (a, 0) = a \cdot a + a \cdot 0 = a^2$.
Ответ: $a^2$

5) $\vec{AC} \cdot \vec{DC}$
Векторы $\vec{DC}$ и $\vec{AB}$ равны, так как это противоположные стороны квадрата. Поэтому $\vec{AC} \cdot \vec{DC} = \vec{AC} \cdot \vec{AB}$. Из предыдущего пункта результат равен $a^2$.
Или через координаты: $\vec{AC} \cdot \vec{DC} = (a, a) \cdot (a, 0) = a \cdot a + a \cdot 0 = a^2$.
Ответ: $a^2$

6) $\vec{AC} \cdot \vec{CD}$
Вектор $\vec{CD}$ противоположен вектору $\vec{DC}$, то есть $\vec{CD} = -\vec{DC}$.
$\vec{AC} \cdot \vec{CD} = \vec{AC} \cdot (-\vec{DC}) = -(\vec{AC} \cdot \vec{DC}) = -a^2$.
Или через координаты: $\vec{AC} \cdot \vec{CD} = (a, a) \cdot (-a, 0) = a \cdot (-a) + a \cdot 0 = -a^2$.
Ответ: $-a^2$

7) $\vec{AC} \cdot \vec{BD}$
Диагонали квадрата $AC$ и $BD$ перпендикулярны, угол между ними $90^\circ$.
$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}| \cdot \cos(90^\circ) = a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot 0 = 0$.
Или через координаты: $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (a, a) \cdot (-a, a) = a \cdot (-a) + a \cdot a = -a^2 + a^2 = 0$.
Ответ: $0$

8) $\vec{AK} \cdot \vec{AN}$
Используем координаты векторов $\vec{AK} = (\frac{a}{2}, a)$ и $\vec{AN} = (a, \frac{a}{2})$.
$\vec{AK} \cdot \vec{AN} = \frac{a}{2} \cdot a + a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} = a^2$.
Ответ: $a^2$

9) $(\vec{AB} + \vec{AD})(\vec{CD} - \vec{CB})$
Упростим векторные выражения в скобках.
По правилу параллелограмма: $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.
Разность векторов: $\vec{CD} - \vec{CB} = \vec{CD} + \vec{BC}$. По правилу треугольника (последовательного сложения): $\vec{BC} + \vec{CD} = \vec{BD}$.
Таким образом, искомое скалярное произведение равно $\vec{AC} \cdot \vec{BD}$.
Из пункта 7 мы знаем, что $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$.
Ответ: $0$